über liololde Systeme von üüotettarionen. 121 



Anwendung von Addition und Subtraktion alle Tettarionen des Be- 

 reiches hervorgehen. Die Tettarionen <,, L, f„ werden dann 



„eine Basis des Bereiches" genannt, und dieser selbst besteht dann 



aus allen und nur aus den Tettarionen »«, /, + ui^t^ + + m„t„, 



wobei H(i, «(2> '"-I unabhängig voneinander die Gesamtheit aller 



ganzen rationalen Zahlen durchlaufen. 



10. Schon innerhalb des Gebietes der rationalen Zahlen gibt es 

 endliche Integritätsbereiche in unbeschränkter Anzahl, nämlich den 

 Inbegriff sämtlicher Multipla einer bestimmt, aber beliebig gewählten 

 Zahl ; — und auch nur solche Systeme erfüllen die Eigenschaften 

 a), b) und c) gleichzeitig. Die «ganzen Zahlen" sind nun die Ele- 

 mente desjenigen unter ihnen, der „den grössten Zahleninhalt" besitzt. 



Eigenschaft d): Ein endlicher, aus Düotettarionen des Kör- 

 pers {R] gebildeter Integritätsbereich [J,„] soll „maximal" genannt 

 werden, wenn im nämlichen Zahlenkörper kein endlicher Integritäts- 

 bereich existiert, der die sämtlichen Tettarionen von [J,„| und ausser- 

 dem noch andere Tettarionen enthält. — Die Elemente eines solchen 

 maximalen Integritätsbereiches werden als „ganze Tettarionen" an- 

 zusprechen sein ; je grösser nämlich der Zahleninhalt eines Systems, 

 desto vollständiger ist dasselbe, und um so einfacher werden, a priori, 

 die darin herrschenden Teilbarkeitsgesetze sein. 



11. Als letzte Forderung ist noch die Bedingung aufzustellen, 

 dass der betreffende maximale endliche Integritätsbereich die Zahl 1, 

 also das Haupttettarion e, + ßj, enthalte. Das Vorkommen des 

 Haupttettarions im Bereiche muss deswegen verlangt werden, weil 

 man sonst ein Sj'stem von „ganzen Zahlen" hätte, von welchen keine 

 durch sich selbst teilbar wäre. 



Die bisherigen Überlegungen weisen uns folgenden Weg, um zur 

 Definition der „ganzen Düotettarionen" zu gelangen: 



Erster Schritt: Alle überhaupt existierenden endlichen Integri- 

 tätsbereiche \J] von rationalen Düotettarionen aufzustellen,- welche 

 das Haupttettarion enthalten ; 



Zweiter Schritt: Unter diesen die maximalen zu bestimmen. 



12. Es sei schliesslich noch an folgende Definitionen erinnert: 

 Zwei Tettarionenmoduln (bezw. -Integritätsbereiche, oder -Körper) 

 heissen „einander gleich" dann und nur dann, wenn sie genau die- 

 selben Tettarionen enthalten. 



13. Zwei Düotettarionen i und t^ sollen dann und nur dann 

 „einander gleich" genannt werden, wenn ihre entsprechenden Kom- 

 ponenten einander gleich sind. Jede Gleichung zwischen Düotetta- 

 rionen, t = t, , hat demnach 4 Gleichungen zwischen rationalen Zahlen 

 zur Folge. 



