über holoTile Systeme von Diiotettiirioiien. 123 



Beweis: Die Voraussetzung lautet: wir haben einen endlichen 

 Modul [T] vor uns, d.h. jedes Tettaiion t desselben ist rational und 

 darstellbar in der Form 



unter ni,, »i„ vi, ganze rationale Zahlen verstanden. Ein be- 

 liebiges Glied f; der Basis gehört selbst dem Bereiche [T] an und 

 lässt sich in der Gestalt 



schreiben. Die 4 Komponenten können stets auf denselben Nenner 

 Xi gebracht werden, so dass 



t, = -^ [a^ei -h a^iB, + (isiCii + UuCi) >= '-2, r. 



Versteht man unter N das kleinste gemeinschaftliche Multiphim der 



r Nenner Nf, N^, N^, so erkennt man: 



3. Jedes Tettarion t des Moduls [T] ist in der Form enthalten 



= ^y (a.ei 



wobei «,. a„, a^, a^ gewisse mit t veränderliche ganze rationale Zahlen, 

 und .V eine feste, nur vom Modul [T \ abhängige Zahl, bedeuten. 



Den Beweis, dass die Anzahl ;• der Basisglieder sich herabdrücken 

 lässt bis auf höchstens 4, zerlegen wir in vier Teile: 



a) Im vorgelegten Modul [T] suchen wir alle diejenigen Tetta- 



rionen auf, deren erste Komponente -^- nicht verschwindet; sollten 



solche in [T] überhaupt nicht vorkommen, so würden wir gleich zum 

 zweiten Teile des Beweises, zu b), übergehen. Gibt es aber in [T] 

 Tettarionen, bei welchen «1 4= 0, so existiert unter denselben gewiss 



eines, für welches diese erste Komponente ^^ , absolut genommen, 



möglichst klein, aber doch nicht Null ist: 



< — ^^^— = Minimum aller 



a,(i) 



*Y iiiiiiiiiniii. tiinri 1 Y 



Dieses Tettarion (eventuell eines unter ihnen) heben wir heraus und 

 bezeichnen es mit £,; da es in [7'] auftritt, lässt es sich in der Ge- 

 stalt schreiben : 



-y- (a,"'e, + «a'"«, + f(3'"e3 + a^'"e^^, 



unter N die nur vom Modul [T] abhängende feste Zahl verstanden. 

 Wir wissen also, dass die erste Komponente irgend eines Tettarions 



