über lioloitie Syslume von DiioteUarionen. 127 



ht «4 = 0, so wird der Modul dreigliedrig; ist ß^ = 0, so exi- 

 stieren zwei ganze nicht gleichzeitig verschwindende Zahlen m^ und 

 m, der Art, dass u,,t, - m,t, = 0. 



IM y.2 = 0, so kann man zunächst zwei ganze Zahlen in^ und m.^ so 

 bestimmen, dass der Koeffizient von e^ in 



III., i„ — m^ts = (»Ho «2 — JHaKa) «1 + O'iißi — nisßa) e^ 



verschwindet, dann zwei weitere ganze Zahlen »i^ und iti\ der Art, 



dass 



III ^ {liut^ — '«3^3) — "*4^ = 0. 



Ist dl = 0, so ist es möglich, durch geeignete Wahl der ganzen 

 Zahlen m^, nu, J»a, »(3, i"^, iii'i nacheinander auf Null zu reduzieren: 

 den Koeffizienten von e^ in: «i,i, — iiuto; dann 



, „ , 64 „ : '"3 0"i fi — »«2O — »"3^3! schliesslich 



■> n I. e, , : m^ {mj (/«, i, — »»2*2) — '»h^a} — «ü^i- 



Man erhält so die Gleichung 



)H, in^iii^ ■ ti — »(,'"3 "'4 ^2 — m'^iii^ ^3 — »«4^4 = 0. 



In allen diesen Fällen besteht eine lineare Beziehung zwischen den 

 Gliedern der Basis, diese ist somit nicht irreduzibel. Da wir aber 

 ausdrücklich voraussetzen wollen, der betrachtete Modul [T] sei wirk- 

 lieh viergliedrig, können wir folgendes aussagen : 



7. Von den 10 in einer irreduzihlen Basis (B) auftretenden Koeffi- 

 zienten dürfen äi^yajßs, «4 nicht verschivinden. 



8. Hätte der endliche Modul [T], den wir jetzt betrachten, eine 

 einzige Basis von der Gestalt {B), so wären die 10 rationalen Koeffi- 

 zienten «1, |3i, y,, «4 eindeutig bestimmt. Wir wollen jetzt 



untersuchen, ob und inwieweit diese Koeffizienten willkürlich sind. 

 Zu diesem Zwecke nehmen wir an, derselbe Modul \T\ lasse sich 

 noch aus einer andern Basis {B') von derselben Gestalt wie (ß) ab- 

 leiten, etwa aus folgender: 



t[ = «; ßi + ß\ 64 + y'i 63 -H ö'i 62 



n',. <2 = «2e, + ß2e4+}'2es 



ts = «361 4-^364 

 t[ = cr^e, 



Unsere Voraussetzung lautet: .Jedes Tettarion t aus [T] ist sowohl 

 durch die t^ als auch durch die // linear ausdrückbar : 



^ = «4 e, = m[ t[ -f- nü fo -r- '«3 ^3 + »«4 1\ . 



Berücksichtigt man die Definition der Gleichheit zweier Düotettarionen 

 (§ 1, 13.), so findet man 



