13^ L. Gustav Du Pasquier. 



t , i >hf/i \ >hVi I s 



k = «1 e, + [iii j~) e, — e, + ö, e,, 



ferner, aus der Diskussion von <, t^ und Anwendung des 9. Lehrsatzes : 



wobei (/j und g^ beliebige ganze Zahlen bedeuten ; aus der Forderung, 

 t^U solle im Modul [T] enthalten sein, entspringt die Bedingung: 



(!) •■ ^1 72 = 9i 9i +99, - -^~ . 



in welcher g^ eine willkürliche ganze Zahl vorstellt. Man überzeugt 

 sich durch eine leichte Rechnung, dass dann t^U = ^i ^i -^ 9,t^i 



ferner t^, /, = g-g, h + 99ih — 9i^i^ schliesslich t] ^ 9zt\ + g^gi t^- 

 Wir sind demnach zu folgendem Resultate gelangt: Wenn ein 

 endlicher Modul [2'J die Basis {B) besitzt: 



(5): 



ö, e. 



und zugleich die Beziehung (/) stattfindet, so lassen sich alle 16 

 Produkte f, i^ (?, t = 1, 2, 3, 4) linear mit ganzzahligen Koeffizienten 

 durch <j, t„, <3, ti ausdrücken; d. h. aber: sie sind selbst im Modul 

 [T] enthalten. Dasselbe gilt dann auch von allen höheren Potenzen t'-, 

 sowie von allen Potenzprodukten 



demnach auch von jeder Summe oder Differenz solcher Potenzprodukte. 

 Mit andern Worten: im endlichen Modul [T] ist dann nicht nur Ad- 

 dition und Subtraktion, sondern auch die Multiplikation unbeschränkt 

 ausführbar. Derselbe ist infolgedessen zugleich ein Integritätsbereich, 

 und da er das Haupttettarion (,die Zahl 1") enthält, fällt er unter 

 die Definition der holoi'den Düotettarionenbereiche. Zugleich ist er 

 der „allgemeinste" im Körper {R}, da wir beim Aufsuchen der Ge- 

 stalt seiner Basis keine willkürliche Annahme gemacht, sondern nur 

 zwingende Schlüsse gezogen haben. 



Das Resultat der ganzen Untersuchung ist folgender Funda- 

 mentalsatz : 



10. Fundamentalsatz. Der aUgcnicinKte, mit vier littear un- 

 abhängigen DiloteUarioneii gebildete, holoide Bereich des Körpers {R} 

 besitzt die Basis (^B): 



