138 L. Gustav Du Pasquier. 



Lässt man i der Reihe nach mit jedem Tettarion eines holoiden 

 Bereiches zusammenfallen, so bildet die (Tesamtheit aller auf diese 

 Weise entstehenden t wieder einen holoiden Bereich, dessen Elemente 

 lauter ganzzahlige Düotettarionen sind, und der behauptete Satz ist 

 als richtig erwiesen. 



3. Ist ein holoider Düotettarionenhereich [(/;, y^, dj] maximal, so 

 gilt dasselbe von jedem durch eine Permiitation {t, S t S~^) aus ihm ab- 

 geleiteten Bereiche des Körpers {B.}. 



Beweis: Die hier betrachteten Permutationen sind eindeutig 

 umkehrbar. Liefern nämlich zwei Tettarionen i, und f. dasselbe 

 Bild T, so folgt hieraus: 



T = St^ 8-' = St., S-K d. h.: t, = t.,. 



Das „Bild" des Originalbereicbes [^,, y„, Öj werde mit [S {fji, y.,, ö^)] 

 bezeichnet. Ist nun der Originalbereich nicht maximal, dann kann 

 man ihn durch Adjungieren gewisser Düotettarionen a so erweitern, 

 dass er holoid bleibt. Die Anwendung der Permutation (7, St S~^') 

 auf den erweiterten Bereich führt auf einen ebenfalls holoiden Be- 

 reich |t], der die sämtlichen Tettarionen von [<S' (//,-, y»! ^i)] und noch 

 andere dazu enthält; das besagt aber: das Bild [S{gi, y^, öj)] ist 

 dann auch nicht maximal. Durch dieselbe Überlegung erkennt man : 

 ist das Bild [Sig,, yj, ö\)] nicht maximal, dann ist auch der Original- 

 bereich [,9,, ^2) ^iJ nicht maximal. Wird nun vorausgesetzt, der 

 Originalbereich sei maximal, so muss auch das Bild maximal sein, 

 weil sonst ein Widerspruch mit der Voraussetzung entstünde. 



4. Der aus allen ganzzahligen Düotettarionen bestehende Iwldide 

 Bereich [g] ist maximal. 



Wäre das nicht der Fall, so müsste ein holoider Bereich |J] 

 existieren, der die sämtlichen ganzzahligen Düotettarionen enthielte 

 und noch andere dazu. Durch Anwendung einer geeigneten Permu- 

 tation {t, S t S~^) könnte man ihn auf einen aus lauter ganzzahligen 

 Düotettarionen bestehenden Bereich abbilden, und es würden dann 

 mindestens zwei voneinander verschiedene Düotettarionen t^ und t.^ 

 dasselbe Bild ergeben müssen. Dies ist aber ausgeschlossen, weil 

 die Permutation eindeutig umkehrbar ist. 



5. Aus den bisherigen Sätzen fliesst unmittelbar der folgende: 

 Es existieren unendlich viele maximale holoide Düotettarionen- 



bereiche; jeder von ihnen ist eine Permutation des Bereiches [g] aller 

 ganzzaJiligen Düotettarionen . 



Es muss demnach möglich sein, zu den sämtlichen maximaleii 

 holoiden Düotettarionenbereichen des Körpers [R] dadurch zu ge- 

 langen, dass man den Bereich [g] allen möglichen Permutationen S 



