über lioloide Systeme von üüotettarionen. 139 



unterwirft und dafür Sorge trägt, dass die entstehenden Bilder wie- 

 der dem Körper {R} angehören. Dies führt auf folgende Frage: 

 welchen Bedingungen müssen die vier beliebigen reellen oder kom- 

 plexen Zahlen ii, x, //, z genügen, wenn, vermöge der Permutation 

 r = StS~\ aus rationalen t stets wieder rationalzahlige r hervor- 

 gehen sollen und 8 das Düotettarion 



. _ f ■'■■ y \ 



^ - \ z, n I 



vorstellt? Man sieht zunächst ein, dass trotz der Permutation die 

 Norm eines jeden Tettarions sich nicht ändert: iV(t) = B(\); ferner, 

 dass jedenfalls .V nicht Nullteiler sein darf: ux =f= U z. Es wird: 



r = ö i .S ' = > • • , oder : 



I z, u I \ //,. H, j l -r, .r ) "x-!/^ 



1 



{I"): t-- 



I «, H X — n., X z 4- «3 II i) — »4 ]jz, — (», — n^ ) xy -^ «2 x- — n.^ ij" 

 [//, HZ — Ho z' + )i^ u'- — n^ HZ, — n^ ijz-^ ii^ xz — «3 uy -j- n^ u.t 



Jede einzelne Komponente von t soll rational werden, und zwar für 

 beliebige rationale Werte von H[ , n„, «3, n^; dies erfordert, dass alle 

 zehn Produkte aus irgend zweien der Zahlen u, x, y, z rational aus- 

 fallen. Aus .r- = rationaler Zahl, etwa .r^ = a, , entspringt a; = V«, . 

 Aus denselben Gründen müssen //, ^, « Quadratwurzeln aus rationalen 

 Zahlen sein : 



(/ = V«2. ^ = V"3. '« = V«4- 



Da endlich die Produkte xy, xz, usw., ebenfalls sämtlich rational 

 werden sollen, müssen alle 10 Produkte «,«4 (i, k = 1, 2, 3, 4) Qua- 

 drate von rationalen Zahlen sein. Dies kann nur eintreten, wenn 



wobei ^^i und c willkürliche rationale Zahlen vorstellen, c von Null 

 verschieden, und «; ^ + 1 ist. Nun kann man noch S durch S • yc*" 

 ersetzen, weil dadurch r = S • t ■ S^ ' gar nicht geändert wird ; dem- 

 nach gilt folgender Satz : 



6. Die allgemeinftte Permutatioii ron tltr Gestalt {t,S-t-S~^), 

 welche einen hoMden Düotettarionenhtreich des Körpers {R} i)i einen 

 solchen iiberfüJirt, der nieder dem Körper {R) anyehört, entsteht, wenn 

 man für S das Düotettarion 



