Ober holoTde Systeme von Düoletlaiioneii. 141 



SO muss es offensiclitlich mit dem aus allen gaiizzaliligen Düotetta- 

 rionen gebildeten Iioloiden Bereiche 1 1]] übereinstimmen. Dies ist 

 aber nur der Fall, wenn jede Komponente von r, unabhängig von 

 den übrigen, jeden ganzzahligen Wert annehmen kann. Daraus ent- 

 springen die folgenden vier simultanen Gleichungen : 



(-\ = «I !/3 -+• «.! . Qi = »2 [ffi 9i ~+-!/fJi) — "4 .'/i (/i + «1 (h fh 

 C„ = II, , C4 = ri., (J, — II ^ !/ + »3 



wobei die C,(i= 1,2,3,4) willkürlich vorgeschriebene ganze Zahlen 

 vorstellen. Die beiden ersten Gleichungen lassen sich durch geeig- 

 nete Wahl von «, und 11^ immer befriedigen, die beiden letzteren 

 nur dann, wenn die Gleichungen 



(3): n„(ji — n^fi = k 



C-i') : »2 {9i93-+- <J !h ) — "4 !h !!■: = ^^ 



bei beliebig vorgeschriebenen ganzzahligen k und // durch ganzzahlige 

 «2 und ll^ erfüllt werden können. Die Auflösung der Gleichungen (3) 

 und {i) nach /;., und 11 ^ ergibt 



., _ k'ff — kgiffj _ Jc^!h — k(g,gs+gfft) 



it-i — . , „ 



Die Grössen 11., und n^ fallen sicher ganzzahlig aus, wenn 



Diese Bedingung (11) ist aber nicht nur hinreichend, sondern auch 

 notwendig. Setzt man nämlich 



9 {9i 93+99i)— 0192 = '». 



so liefert das spezielle Wertepaar /c = 0, /.' = 1 die Ausdrücke 



_ // ;h 



- m ' * m ' 



Die Zahlen g und //, haben somit den gemeinschaftlichen Teiler m; 

 die Gleichung (3) lehrt, dass dann auch /; durch ni teilbar ist. Nun 

 bedeutet k eine, von den Grössen g, g, .... g^ unabhängige, willkür- 

 liche ganze Zahl, die unter andern den Wert A' = 1 annimmt. Dieser 

 Umstand zieht m — +\ nach sich. Unter Berücksichtigung der in 

 § 2, 10. aufgestellten Bedingungsgleichung (/) lässt sich vorige 

 Gleichung (//) durch 



(11') ■■ ^y..«, -±i 



ersetzen. Wir haben somit den Beweis folgenden Satzes erbracht: 



