I.conliarrt Eulers Venliensle um das Veisicheiunj.'swesen. 221 



Sterblichkeit iiusgoilrückt, und aus ihr lässt sich sofort oiiie Mor- 

 talitätstafol mit beliebigem h'adix aufstellen. 



Euler löst nun die folgenden klassisch gewordenen Funda- 

 nientalaufgaben: 



Er^f<- Äti/'i/ahe. Von M gleichaltrigen, «t-jälirigen Personen 



werden nach Ablauf von // Jahren wahrscheinlich noch — ,- , — M 



(m) 



am Leben sein. In moderner Schreibweise ist es die Formel: 



'«/ + H ^^ '«/ * ii ihn. 



Zweite Aufgabe. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein ;K-jährigcr 



nach Ablauf von // Jahren noch lebe, ist — -, — —-• In moderner 



[m] 



Schreibweise: 



„Ihn = Pm • Ihn + l • Ihn + i ■ ' Pm + n - l ■ 



Dritte Außjahe. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ^((-jährige 

 Ferson noch // Jahre leben und dann im Verlaute des fM-fl)'"" 



Jahres sterben werde, ist ~ — 7-^^^ • In moderner Schreibweise: 



(m) 



H 5,« = pm ■ Pm + 1 • • j;,„ + „ _ 1 • (1 — Pm + n) = n Ihn ■ Im + n- 



Ähnlich wird die Wahrscheinlichkeit gefunden, dass eine wi-jährige 

 Person noch >i Jahre leben, dann aber innerhalb der v Jahre, die auf 



diese )i ersten folgen, sterben werde; sie ist r t 



In der vierten Aufyabe wird die „wahrscheinliche Lebensdauer" 

 eines »«-jiilirigen bei-echnet; es ist diejenige Zeitspanne, die der be- 

 treffende hoffen kann, zu durchleben, so dass es gleich wahrschein- 

 lich ist, dass er vur, wie dass er nach Ablauf dieser Frist sterben 

 werde. Dieser Termin entspricht für einen w-jährigen dem Moment, 

 in welchem die ursprüngliche Anzahl l,„ aller gleichaltrigen Personen 

 genau auf die Hälfte gesunken sein wird; denn es ist gleich wahr- 

 scheinlich, dass er zu der gestorbenen als zu der am Leben gebliebenen 

 Hälfte gehöre. 



Fioifte Aufnähe. ^Velche Leibrente ist gerechterweise an eine 

 »/-jährige Person bis zu ihrem Tode zu bezahlen, als Entgelt für eine 

 im voraus entrichtete, einmalige Bareinlage rt? 



Man nehme an, dass M Personen, alle vom gkiclicM Aller m, 

 dem Versicherer dieselbe Einlage n entrichten; er hat daim die Summe 

 Ma zur Verfügung, die er selbst auf Zins anlegen kann. Man nehme 

 feiner an, der Zinsfuss sei so beschaffen, dass eine Summe S nach 



einem Jahre duich Hinzufügen des Zinses auf A.S anwachse. Dann 



S 

 ist .- (in moilerner Schreibweise S ■ i" ) der Barwert einer erst nach 



Ablauf von )t Jahren fälligen Summe S. Bedeutet endlich .'■ die 

 Summe, die der Versicherer an jede der M Personen bis zu iiireni 

 Tode auszuzahlen hat, so gilt die Glleichung: 



