Leonliard Eiiler? Verdienste um das Veisiolieruiifswesen. :!27 



leben der einen Hälfte Hiessende Gewinn gerade den Vorlust kom- 

 pensierte, welcher für den \"ersieliorer ans dorn llberlehen der zweiten 

 Hälfte entstünde. Euler macht auf das Fehlerhafte dieser Schluss- 

 weise aufmerksam: die Barwerte der zu leistenden Kenten werden 

 dabei nicht richtig berücksichtigt. 



Enlers klassisch gewordener Gedankengang sei hier mitgeteilt, 

 unter möglichster Anwendung der modernen, internationalen Bozeich- 

 nungsweise: Man betrachte/,, Neugeborene, und es möge Z, , /.j, . . ., /,„ 

 die Anzahl derjenigen unter ihnen bezeichnen, welche nach Ablauf 

 von bez. 1, 2, ..., m Jahren noch am Leben sein werden. Bedeutet 

 ferner /• die jährlich zu beziehende Leibrente, welche ein iH-jährigcr 

 sich ankaufen möchte, und «„ den Preis, den der Versicherer jetzt 

 dafür fordert, so setze man voraus, es stellen sehr viele »n-jährigc 

 l'orsonen, etwa /„, an der Zahl, das gleiche Begehren an denselben Ver- 

 sicherer. Er wird hiernach den Betrag /,„ • «,„ einnehmen, und diese 

 Summe mitsamt ihren Zinsen und Zinseszinsen muss gerade genügen, um 

 alle seine künftigen Leistungen zu decken. Von den /,„ in Betracht 

 fallenden j/(-jälirigen werden voraussichtlich noch am Leben sein: 



/,„ . 1 nach 1 .lahr. /,„.■: nach 2 Jahren Der Versicherer wird 



also zahlen müssen: 



nach iMnoiii .Jahre die Summe ;••/„, + ], 

 nach zwei -Taliren „ . r-/,„ + o. 



bis zum Aussterben sämtlicher Rentner. Es bleibt noch übrig, jede 

 dieser Auszahlungen auf den gegenwärtigen Zeitpunkt zu diskontieren. 

 Nun ist bekanntlich der Barwert einer erst nach i/ Jahren fälligen 

 Summe Ä' gleich K-r", wobei »= , , . den Abzinsungsfaktor vor- 



o 1 + / ° 



stellt und i den Zins bedeutet, der vom Kapital ,1" im Laufe eines 

 •Jahres erzielt wird; beispielsweise bei einem Zinsfusse von rt^/'n: 



1 '*() 



r — T-y = 5r (siehe pag. 221). Berechnet man hiernach den Barwert 



jeder einzelnen Auszahlung, welche der Versicherer voraussichtlich 

 winl leisten müssen, so ergibt sich als Summe dieser Barwertc: 



/• • /„M 1 •v+ r- l,„ + o ■ v^-\-r ■ /,„ + 3 • vM 



Diese Summe ist gleich seiner jetzigen Einnahme /,„ • «,„ zu 

 setzen; man findet so als Wert der gesuchten Einlage <«„,: 



«,„ = £ iv-l,„ + i-+- r^ ■ L,., + v'> ■ /,„ + :,+•• •) 

 Auf der rechten Seite sind alle Grössen bekannt. Es fehlt nur 

 noch der Begriff der .diskontierten Zahl der Lebenden", den Euler 



später benutzt, um dieser Foriiiui die jetzt üliiiche Gestalt 



X... , ., 



a„ = r ■ jj- zu verleilion. 



