über die Anwenduni? von Fourier-Reilien. 



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Fig. 4. 



und nennen U„ den Umfang des von ihnen 

 gebildeten gleichwinkligen C umschriebenen 

 konvexen ') »-Ecks. (Fig. 4.) Nach (9) ergibt 

 sich für die Länge .<« der in <(««) liegenden 

 Seite desselben : 



SKsin«=^;(M,.. i) {-p^u^ + i) — 2 p{uk) cos a (9') 



und somit folgt 



i/„--J/ry(^)5^(» + ''«) (12) 



und wenn man die Entwicklung (7) einsetzt: 



U,. = ( J) tg {i)L-2 , tg } ^ ^^f [««« cos (x.») + aL„ (.»«)]. (12'! 



Bedeutet U',, den Umfang des regulären n - Ecks, das dem Kreis von 

 der Länge L umschrieben ist, so kann dies auch geschrieben werden 



U'i — U„ = 2 II tg — \--i-zri [/'« '^°-'* "" ^" ^^'' ®^" ('*")] + • • • • 



Da in der Entwicklung rechts alle Fourier-Koeffizienten bis zum 

 Index (« — 1) null sind, folgt nach einem von A. Hurwitz-) her- 

 rührenden Satze, dass die stetige Funktion Uti — 1/„ im Intervall 

 <u<27t wenigstens 2n mal verschwindet. 



Es gibt also wenigstens zwei verschiedene gleichwink- 

 lige C umschriebene «-Ecke vom Umfang U', . 



Wir wollen nunmehr alle diejenigen Kurven C bestimmen, 

 für welche alle umschriebenen gleichwinkligen «-Ecke den- 

 selben Umfang U„ haben. Sie sollen kurz ^/„-Kurven genannt 

 werden. Es ergibt sich aus (12') für sie die Bedingung: 



a^ = Ok = sobald x ü (mod >i) und x 4= (13) 



und es wird dann 



Hieraus folgt der Satz: 



i/„-Kurven vom selben Polygonumfang haben alle die- 

 selbe Länge. 



') Es ist nicht ausgeschlossen, dass bei dieser Konstruktion einige der Polyyon- 

 seiten eine Länge beicommen, dann iiümHch, wenn C genügend spitze Eilien 

 aufweist. 



-) A. Hurwitz: Über die Fourierschen Konstanten integrierbarer Funktionen. 

 Math. Ann. Bd. .J7, S 9. Salz 9. 



