314 Ernst Meissner. 



Aus der Bedingung (13) folgt ferner der Satz: 

 Haben alle der Kurve C umschriebenen gleichwink- 

 ligen w-Ecke denselben Umfang, so gilt dies auch für die 

 gleichwinkligen umschriebenen Polygone doppelter, drei- 

 facher usw. Seitenzahl. 



Die Bedingung für f/„-Kurven kann nach (li) auch durch die 



Relation 



ti-\ 

 (14) ^ p(h ~\- titt) = konstant 



ausgedrückt werden. Sie ist also auch erfüllt für j>*(m) = p{ti) + Kon- 

 stante. Aber 2^*{^') ist die Stützgeradenfunktion einer Parallelkurve 

 zu U,i. Mithin gilt der Satz: 



(Konvexe) Parallelkurven zu f/„-Kurven sind wieder 

 ^/„-Kurven. 



Nach unserer Definition einer f/„-Kurve ist stets w > 3 voraus- 

 zusetzen. Wir wollen aber auch von Ij\- und f/j'I'^urven sprechen, 

 wenn die Relation (14) für ?t ■= 1 resp. (i = 2 erfüllt ist. 



Für H ^ 1 wird dann a^ = al = " für alle % > 0, und nach 

 (5) also 



y=v ^ cos « J 



Die f/j-Kurven sind also die Kreise der Ebene. 

 .Für « = 2 wird 



l^ (u) -f- p {u -+ n) = b = konstant 



und wir erhalten die von A. Hurwitz') untersuchten Kurven kon- 

 stanter Breite h. Es ist leicht einzusehen, wie sich die ange- 

 gebenen Sätze für sie modifizieren. 



V. 



Für )i = 3 wird das gleichwinklige /i-Eck regulär. Wir wollen 

 nunmehr alle diejenigen Kurven (sie mögen P„-Kurvpii heissen, be- 

 stimmen, deren sämtliche gleichwinklige umschriebene »- 

 Ecke auch gleichseitig, also regulär sind. 



Es muss dann in (9') für irgend zwei Indizes A, v 



sin « {sx — *v) = 

 sein. Setzt man abkürzend: 



') In der unter ') Seite 311 zitierten Arbeit. 



