über die Anwendung von Fourier-Reihen. 315 



x' — I x' — 1 ^ 



(\ -■ cos (x A «) — cos (x V et) Sk = sin {x ka) — sin (x i' «), (1 Ct) 

 so folgt das identische Verschwinden der Keihe 

 sin « {nx — •'»•) = 



CD ^ 



2 ^ [cos X «) - cos «] {[\4k Ck l- v4.: .s;.J cos (x «) + [-A^ Su + Ay ( '„] sin (x «ij • 



Xun wird cos(x«) — cos « = 0, dann und nur dann, wenn 



X = + 1 (mod le) 



ist. Es bleiben in diesem Fall die Koeffizienten Ak, AI. resp. a^, h'k 

 keiner Bedingung unterworfen. Ist aber x e|= + 1 (»), so müssen für 

 beliebiges A und v die Gleichungen 



A. a + A', S. = 0, 

 - A, S, + 4; C. = 

 gleichzeitig erlullt worden. Daraus folgt aber 

 .4. {Sl + Cl) = 0, 



a: {si + CD = 0. 



Es ist (»S'k -!-(7i) = 0, wenn 5"« und C\ gleichzeitig null sind, und 

 nach (16) tritt dies dann und nur dann ein, wenn 



X (A — r) = (med «) 



ist. Da A und v beliebige ganze Zahlen bedeuten, so können die 

 Ak, A'k resp. die a«, al nur noch in dem Fall von null verschiedene 

 Werte haben, wo 



X = ( mod //) ist. 



Die Kurve C ist also eine P„-Kurve dann und nur dann, 

 wenn alle Fourierkoeffizienten a„ a« verschwinden, sobald 

 X keine der Kongruenzen 



xeeO(«) x=l{ti) xzzr— 1(//) (17) 



erfüllt. 



Für /( = -4 ergibt sich die Bedingung 



a4K + i = «4-^ + 2=0 x= 0,1,2,... 



Beispiel einer solchen Kurve P^ , für die alle umschriebenen 

 Bechtecke Quadrate sind, ist die durch 



Q (h) =1 — cos (4 u) 



bestimmte, algebraische Kurve 



