iMier lue AinveiliUiiij; von Foiiiiei-Reilioii. 323 



Hierin ist gesetzt: 

 uiui 



rfK 



x(l H-cosxgj)<(/ -^ — sinjcqo| 

 dK= Tismyctp ■ t(j ., — (1— cosxy)J 



(28') 



(28") 



Als Beclinguiigen für // ^ Konstante hat man also 

 D^ = Z)l, = . 



Die Koeffizienten (r^, «^ können somit nur dann von null verschieden 

 sein, wenn die Determinante dieser Gleichungen null ist, d. h. wenn 

 für den betreffenden Index x 



,/;; + d',' = erfüllt ist. 



Dies ist der Fall, wenn x und tp die Relationen befriedigen 



X (1 + cos X (p) ff/ = sin X cp 1 



'^' \ iO<cp<n). 



xsmiC(p-tff --j- ^1 — cos X <p 



Beaclitet man, dass dann (1 + cos x 9) und sin A (p nicht null sind, 

 so können nach Einführung von 



■^ 2 

 diese zwei Gleichungen ersetzt werden durch die eine: 



^tg{^x) = tff.r (0<x<^). (29) 



Es fragt sich, ob bei gegebenem x positiv ganzzahlige 

 Lösungen x>2 dieser Gleichung existieren, und ob es even- 

 tuell deren unendlich viele gibt. 



Sind jc,, Xj . . . xy. . die Lösungen, so bleiben für die gesuchte 

 Kurve C die Koeffizienten 



a,j, al^j j = 1, 2, . . . 



völlig willkürlicli, wälirend die übrigen alle gleich null sind (Aus- 

 nahme ist (Iq). Ist für den gegebenen Wert von ./; keine Lösung 

 vorhanden, so ist der Kreis die einzige Kurve C, die der 

 vorgeschriebenen Bedingung genügt. 



Die Beantwortung der gestellten Frage wird sehr schwierig sein. 



Wir begnügen uns damit, zu zeigen, dass eine im Intervall < x< -^ 

 überall dicht liegende Menge von Werten x existiert, für welche je- 



