Cber die Anwendunu von Fourier-Rcihen. :ii!7 



Treten Ecken an der Kurve auf, so ist diese Art der Masscnbelegungen 

 etwas zu modifizieren. 



Es sei fS (./•*, 1/*) der gewöhnliche .Sciiwerpiinkt der Kurve ü. 

 Dann ist 



X* = j. • { xds = ^ (■''•? (") (lit = 1 ■*•' («) Q (m) du 



'■ Ö ö 



^* " /; 'j 2/ ''* =" L j '^ ■ ^ '^"'' '^" "" «0 n j -^ '^"^ ^ ("^ ''"• 



Setzt man für .'■ (»). >/ (u) und p (») die Fourieri-eiiien (5) und (2) 

 ein, so folgt 



t 'S- 



"(x+l) 





Die rechter Hand aultretenden Summen werden null für die Kuivcn 

 t/o, S,, iS'4, Tn und für die Kurven li„, wenn «>3 ist. 



Für alle diese Kurven, insbesondere für Kurven kon- 

 stanter Breite (t/j) und Kurven mit Mittelpunkt {T^ fällt 

 also der Krümmungsschwerpunkt 2' mit dem gewöhnlichen 

 Schwerpunkt S zusammen. 



Zu einem bemerkenswerten Satze gelangt man, wenn man gleich- 

 zeitig mit ('eine zweite Kurve C* mit der Stützgeradenfuuktion l>* {}>) 

 und von gleicher Länge ins Auge fasst. Legt man (' und 6'* so, 

 dass die zwei Krümmungsschwerpunkte - und 2"* zusammenfallen, 

 so ergibt sich nach (7) für ^) (^0 — P* {>') eine Fourier-Entwicklung, 

 in der das konstante Glied und die Glieder mit cos u und sin u 

 verschwinden. Nach einem schon früher erwähnten') Hurwitzschen 

 Satze schliesst man, dass die stetige Funktion p (h) — p* (n) im Inter- 

 vall < H < 2 IT wenigstens vier Strecken konstanten Vorzeichens 

 besitzt. Einer Nullstelle von p (") — p* (") korrespondiert eine ge- 

 meinsame Stützlinie von Cund C*. Gemeinsamen Stützlinien in gemein- 

 samen Ecken von C und C* entsprechen Nullstellen von p [n) — ^>* (ti), 

 die als in derselben Strecke konstanten Zeichens liegend, angesehen 

 werden können. Somit folgt die E.xistenz von wenigstens vier C 

 und C* gemeinsamen Stützgeraden der Art, dass keine zwei von 

 ihnen Stützlinien derselben Ecke sind. Man darf hieraus auf die 

 Existenz von wenigstens vier Schnittpunkten der Kurven < ' und C* 

 schliessen, und hat somit den Satz: 



') Zitat ') Seite VA.',. 



