328 Ernst Meissner. 



Haben zwei konvexe Kurven gleicher Länge die Krüm- 

 mungsschwerpunkte gemein, so schneiden sie sich in wenig- 

 stens vier Punkten.') 



Als spezieller Fall folgt der Satz: 



Dreht man eine Kurve um ihren Krümmungsschwer- 

 punkt 2", so haben je zwei verschiedene Lagen stets wenig- 

 stens vier Punkte gemein. 



Betrachtet man zwei infinitesimal benachbarte Lagen, so erhält 

 man weiters den Satz: 



Vom Krümmungsschwerpunkt I aus gehen stets wenig- 

 stens vier Normalen an die Kurve.") 



Zu weitern Theoremen führt die Untersuchung der Funktion 

 2'' («) ~ P* (")• Ist sie im Intervall »j < « < U2 identisch null, so 

 sind die zugehörigen Bogen von C und C'* Parallelkurven. Ist Uq 

 eine Nullstelle von p (u) — ^j*'(m), so steht die Gerade P{uo) P*(mo) 

 in P(«o) normal zur StUtzgeraden i(»u) und in P* ("0) normal zu 

 i* ((to). Wir nennen eine solche Gerade eine gemeinsame Normale 

 von C und C*, und zwar eine „gleichsinnige", weil beim Durch- 

 laufen derselben die Kurven C und C* entweder beide beim Ein- 

 treten ins Kurveninnere oder beide beim Verlassen derselben normal 

 durchsetzt werden. (Fig. 10.) — Auch einer Nullstelle der Funktion 

 p {u 4- ;t)4-^j*' (u) entspricht eine gemeinsame Normale von C und C'*, 

 aber eine ungleichsinnige, d.h. eine solche, die normal in die eine 

 Kurve eintritt, und aus der andern normal austritt. (Fig. IL) Eine 

 gemeinsame Normale kann nur dann gleichzeitig gleichsinnig und 

 ungleichsinnig sein, wenn sie für beide Kurven Binormale ist. 



') Der analoge Satz für den gewöhnlichen Schwerpunlit S gilt nicht, wie 



folgendes Beispiel zeigt : 



Die Kurve C bestehe aus einem Halbljreis vom 

 Radius r und Zentrum S und zwei gleichen Strecken 

 AB, B I) von der Länge a. Man wähle a so, dass 

 der Schwerpunkt von G nach S fällt 



-f y2 + 2v'iy ). 



Ist Q der Radius des Kreises C* derselben Länge wie C, 

 und vom Mittelpunkt S, so ergibt sich 



^ = i_ + ^^+^^'" = 1,0093 > \. 



C* schneidet C also nur in zwei Punkten P^ P^ auf A D resp. B D. Will man 

 geradlinige Ränder bei C vermeiden, so ersetze man A D und B D durch genügend 

 flache Kreisbogen, und runde die Ecken genügend fein etwa durch kleine Kreise ab. 

 '') Normale von C ist dabei jede Gerade, die in einem Punkte von C senk- 

 recht auf einer Stutzlinie in jenem Punkte steht. 



