Cl)er Lamlierls tläi-hcntreue Azimutalprojektion. 441 



in sf liegende Durchmesser des Kreises (6). Wir sprechen dieses 

 Resultat in dem folgenden Satze aus: 



//. Das LamherUche Bild eines durch den Punkt Q gehenden 

 Kugelkreises bestellt aus dem Kreise um mit dem Badius 2 und der 

 einen Hälfte einer Ellipse, deren grosse Achse der ::ur Horizontalspur 

 der Ebene des Kugelkreises parallele Durchmesser des Bildkreises ist. 



C. Nun wollen wir die Gcstaltänderung von k* untersuchen unter 

 der Voraussetzung, dass a und b konstant, c dagegen variabel 

 ist, also unter der Annahme, dass E mid E um ilire Horizontalspuren 

 gedreht werden. 



Für '• = (* reduzieren sich k und k und somit auch A* auf den 

 Anfangspunkt 0. Liegt c zwischen und ( — 2), so schneiden sich 

 k und k in zwei Punkten »S", und & und es besitzt k* zwei reelle 

 Doppelpunkte. Lassen wir c von bis (— 2) abnehmen, so bewegen 

 sich .9, und S.> von aus auf dem in Z! liegenden Grosskreis / der 

 Kugel abwärts und zwar so, dass die ^-Achse stets Symmetrieachse 

 von Si <S'2 ist. Die Doppelpunkte S* und S* entfernen sich auf .-f (/*) 

 von aus in entgegengesetztem Sinne, jetzt so, dass Sf »V* inmier 

 durch halbiert wird und dass der Radius Vektor jedes der Doppel- 

 punkte gleich ist der Kugelsehne OS, oder OSo, also gleich yTc- 

 Während aber für c = — 2 die Punkte 6', und Ä mit Q zusammen- 

 fallen, besitzen S* und .'?.* für <- = — 2 die im Lambertschen Bilde 

 der Kugel grösstmögliche Entfernung: sie sind die Endpunkte eines 

 Durchmessers des Umrisskreises (6). In diesem ungleichen Verhalten 

 von Original und Bild kguinit die Eigenschaft der Lambertschen 

 Projektion, im Punkte Q nicht ein-, sondern oo-vieldeutig zu sein — 

 dem Punkte Q entspricht der Kreis Q* — , zum Ausdruck. 



Für Werte von c, die < — 2 oder > sind, haben /■; und k, wenn 

 die Kugel von E und E überhaupt geschnitten wird, keine gemein- 

 samen, /.•* also keine Doppelpunkte. Der Übergang von der Gestalt I 

 der Kurve k* in die Gestalt II (Fig. 2) vollzieht sich für c = — 2. 



Berühren endlich E und E die Kugel in den Punkten J und J, so 

 besteht k* aus den beiden Punkten J* und J*, in welche die beiden 

 Ovale sich schliesslich zusammenziehen. Die Punkte J* und J* liegen 

 auf der zu .vf normalen Geraden durch O und liabon von diesem 

 Punkte den Abstand 



Va'6» + a» + 6'" 

 Aus dieser Betrachtung gewinnen wir den Satz: 

 ///. Sind in Gleicliung (5j a und b konstant, c dagegen verände^-- 

 lich, so liegen die Doppelpunkte aller durch (5) definierten Kurven vierter 

 Ordnung auf einer Geraden durch den Anfangspunkt. 



