I. 1. N". 2, o. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



§ 1. NOTION ET PROPPIÉTÉS FONDAMENTALES b'uNE INTEGRALE DliPINIE. 



2. La, theorie des fonctions, comme ayant pour objet Ie cliaiigeraeut des fonctious variables 

 dépendantes, est basée, d'après ce que l'on sait, sur la formule fondameutale 



ƒ' (a-) = Lim. ~ , pour Lim. d = O ; (f) 



qui exprime Ie coëfficiënt diflerentiel f' (x), comme Ie rapport limite entre les changements de deux 

 variables ƒ (x) et x, dont la dernière est considérée comme variable indépendante et dout la première 

 au contraire dépend de celle-ci. Lorsque ƒ (.«) y est connue, cette formule fait trouver ƒ' (x), et 

 c'est-la Tobjet du Calcul Différentiel : l'opération inverse, de déduire la ƒ {x) de f {x), est du ressort 

 du Calcul Intégral, dont la methode est indirecte par la nature même de la formule précédente. 

 Mais quoiqu'il soit impossible de déduire / (jc) directement de f {x), oii alors ƒ (x) serait l'infé- 

 grale indéjinie de ƒ' {x), on peut pourtant approcher de ce but par une methode, qui donnera la 

 base de notre theorie. 



3. Ou peut écrire la formule fondamentale de la maniere suivante: 



ffa;+8)—f(x) 



s ^^' ^■'■^ + '' '''°" ^ ^•'' + ^^ -/ W = V (^) + 3 f , (+) 



oü i est supposé être une quantité, qui s'évauouit a la limite zéro de è. Prenons maintenant: 



X = a , a-|-ö , a + '^i +'^21 ^ + '^1 +^2 + ••• ^^«— 1 > 



8 = ^1, 8 1, ('s, 8„ , tandis que les valeurs 



en suivent comme valeurs correspondantes : substituons ces valeurs rcspcctives dans l'équation (4.), 

 nous aurons : 



/(« + ''»,)-/(«) = '^ ƒ («) +^'.^. 



/(« + ^ + h) -/(« + ^, ) = ^. / (« + ^ ) + <5, *, , 



/(a+ö,+,5,+... + .i„)_/(afd',+i(,+... + ,5,_,) = V(ft^-'^+'^-l-•••+^„_,)+'^«^«• 

 Lorsque maintenant la fonctiou ƒ {x) est continue pour toutes ces valeurs depuis a jusques :\ 

 a + ^1 + ''2 + ••• 4" f*»» °'^ ^ toujours ƒ(« + ^^j) = ƒ (a + ^/j), ou comme ou Texprime quel- 

 quefois ƒ(« + ^/^ + 0) = /;a -|- cfyj — 0) : en ce cas, dans la somme des premiers membres des 

 équations précédentes, toutes les fonctions intermédiaircs s'annullent entre elles, et il reste 

 ƒ (a-|- t>, + t>2 + •■• + ^n) — /W- M^is quand la fonctiou ƒ (a') est discontinue pour quelque 

 valeur de x, située entre ces limites, soit pour a -\- 8p, on u'a plus identiquement/(a + 3;,) ==/{a-\-8j,), 

 c est-fi-dire, d'après la définition de la discontinuité, f (a -\- cS^;) aura une autre valeur, selou qu'on y 

 parvient par Taugmentatiou de l'argument, par exemple du cöté de a, pour aiusi dire, ou qu'on 

 l'obtient par la diminution de x eu venant de a -\- ö ^ -\- 8.^ -\- . . . -^ Ö„: donc la diflereuce de 

 f[a-\-8p — 0} et f{a-^8p-\-0) aura une valeur finie ou infinie, mais en lous cas elle ne s'évanouira 



Pa?e 2. 



