ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRAEES DÉFINIES. 1. 1 . N". O — 5. 



j)as en gi'nural dans la somnie mentionuce des premiers membres. Excluoiis doiic ce cas pour Ie 

 moment, nous trouvons poui- Ie cas de contiuuité seulement: 



A présent supposons que ron ait a + ('•"j + ^2 "l~ • ■ • + '"*« = ^) une quantité constante: dès-lors on 

 peut assigner la valeur de la somme des produits 8p tp : car soit fg la plus grande et fp la plus pe- 

 tite parrai toutes les valeurs de f, on aura: 



f</(^, + S,+... + 8„}y,\ ,^+S, ,, + ...+ .5„.„>.p(^-, + ó-^ + ... + S„), OU 

 fy(b — a) > ,^| f, -ft'i^f, -)-...-j-ö„f„>f^;(6 — a), 



par la substitutiou de h — a: or celle-ci est constante, et Ton peut diminuer les valeurs des e et 

 par suite celle de (g et de fp indéfiniment, en en augmeutant Ie nombre : donc les deux quantités, 

 qui euclavent Ie terme du milieu, convergent avec S vers zéro, et ce terme, par conséquent, devieut 

 aussi zéro pour la limite zéro de S. Ou a donc enfin : 



f{b)-f{a)=Um.[dJ'(a) + S,f{a-\-S,)+...-].S„f{a-\-8,-\.d„-\.... + Ön-i)lUm.S = . (1) 



avec la condition b — a = ö, -|-ö^-}-... + '^n; (1*) 



et ainsi nous avons déduit de la fonction f'{x) la difl'érence f [b) — ƒ(«)• elle nV'st plus uue 

 integrale indéfinie ƒ {x), mais clle est riidcyrale dc/inie de la fonction ƒ (.«). 



4. Mais ce résultat peut prendre une forme plus caractéristique. Eu cfiet preuons tous les 

 ö ^,d^, . . . S,i égaux a 8, de sorte que l'équation (1) devient: 



/■(«')-/(«) = Uva.[S{f'(a)+f{a^S)+f{a + 28) + ...-\-fia+[n-l]S)}lb-a=n8,Um.S^0 . (2) 



Le second membre de cctte équatiou est une somme de termes ^f{x), oü x augmente unifor- 

 mément depuis a jusques ;\ b: or, dénotons 8, comme Ia difTérence de a;, par A a?, alors cette somme 



h 



aura la forme Lim. ^ f'[x)l^x: elle exprime une sommation d'une suite de n termes ;\ facteur 



a 



/^x: mais comme 8 duit couverger vers sa limite zéro, on peut le remplacer par la notation 

 usuelle dans ce cas, dx, la differentielle de x: dès-lors Ie nombre ?i des termes, qui est —^ — sui- 



vant (1*}, devient iufini, et les termes eux-mêmes devienneut infiniment petits ii raison du facteur 

 dx, qui converge vers zéro : il est d'usage dans un tel cas de remplacer le signe de sommation ^ 



par le signe d'intégratiou / , et Ton peut écrire : 



/ f{x)dx==:Um.[8[f{a)+f'{a-\-8)-\-f'{a-\-28) + ...+f'{a+[7i—l]S)}'\]Am8=^0,b—a = n8 . (-3) 



(/. 



équation identique, il est vrai, mais dont le premier membre oflïe une notation plus simple de 

 l'iutégrale définie: on dit alors, que la fonction ƒ {x) est intégrée entre les limites a et b. 



5. La comparaison des équations (1) et (2) indique, que 1'égalité ou l'inégalité des divers 8, 

 qui tous convergent vers zéro, n'intiueuce pas sur le résultat: et puis elle nous apprend qu'au lieu 

 de la formule (3) on peut écrire: 



Pase 3. 1* 



