I. 1. N'. o, 6. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



On peut encore transforiner cette expression dans une autre, qnelquefois plus commode. Or, les 

 quantités a, a -f- 5,, a 4* ^i + ^2»---<* + «^i + ^2 + •• • + ^«— i s°"'' ^^^ valeurs que .« obtient 

 successivemeut, en variant de la limite a a l'autre b: nommons ces valeurs successives de x: a;^, 

 «,, x.^...Xn, oü donc x^ = a, Xn = l>, il vie?it i5, = i^ — .i'g, f)., =x.^ — a-, ...ö„=x„ — Xn-i, 

 et 1'équation aura la forme : 



ƒ 



6. De quelque maniere que Ton exjjrime l'intégrale définie, les équations précédentes nous dounent : 



f{x)dx=f;h)-f{a) (6) 



ƒ 



mais seulement daus Ie cas, que f {x) soit continue entre les limites a et b. 



Maintenaut l'équation fondamentale (t) du Nr. 2 peut s'écrire: df{x)=f{x)dx, qui donue 

 par 1'opération inverse: 



pour rintcgrale indL^liuie. 11 est nécessaire d'ajouter ici une constante U, puisque la diflerentiation 

 de cette dernière équation, si nous voulons retourner a l'équation précédeute, élimine cette con- 

 stante. Ou ne peut pas trouver directement cette integrale, ni la constante, comme résolutiou du 

 problème posé de détermiuer ƒ [x] a l'aidc de ƒ ' {r] : mais si nous prenous ici successivement a et 6 

 pour X, la différeuce des résultats donne: 



f[h)-f{a)^l'f{^r)dx-C-Uy{x)dx~^^ = iy[x)dx-{G-C) = ('7'{x]dx,.{l) 



équation qui nous raoutre comment d'une integrale indéfinie on peut passer ii une autre, qui a la 

 forme d'une integrale définie, mais oü nous u'avons point pris en cousideratiou la continuité ou la 

 discontinuité de f {x) entre les limites a et 6 de x. La comparaison des formules (7) et (G) nous 

 monfre en eflet, que daus Ie cas de continuité les deux expressions s'accordeut entre elles : mais 

 dans la suite nous verrons que eet accord n'existe plus dans Ie cas de discontinuité ; en effet alors 

 la formule (7) n'a plus aucun sens [1]. 



[1] Il s'ensuit dciri que Ia distinction d'OilM *) entre une integrale définie numcrique (numeriscli- 



*) Ohm, System der Mathematik, ïhcil 8. Die Lelire der endlichen Dift'erenzeii und Siiinineii, uud der reellen 

 Fakforiellen und Fakultaten, so wie die Theorie der bcstiminten Integrale. (Nurnbcri;. Koru. IS51. XXVI et 390 S. 

 8».) S. 247. fgg. 



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