ET METHODES ü'ÉVALU.VTIOiN DES INTÉGIIALES DÉFINIES. I. 1. N\ 7, 8. 



7. Comme des considératioiis de geometrie peuvent être d'une grande iitilité pour doiiner des 

 notions claires et précises, uous allons voir comment elles interprètent les raisoiincments précédents ; 

 elles uous indiqueront au même temps riufluence, que doit avoir ici la discontinuité de la fouction 

 intégrée. A eet effet, retournons u la formule (f) et prenons pour f{x) l'aire de quelque courbe 

 pour des coordonnées recfangulaires, et comprise entre la courbe, l'axe des abscisses x et deux 

 ordounées quelconques y: quand on fait augmenter l'aire d'une quautité très-petite, Ie numérateuv 

 de la formule citée sera un trapèze, oi\ l'un des cotés est courbe, et Ie cöté opposé la partie de 

 l'axe des abscisses dx: eu passant aux limites ce trapèze devient un rectaugle et ƒ' [x) n'est par 

 conséquent autre chose que l'ordouuée. Maintenant (Fig. 1) soit pour une ordonnée arbitraire 

 M»?J, l'aire M A am = ƒ (a) -f C, et l'aire MLZm=/(ö)+C: il vient AL Za =/(i) — ƒ («). 

 Mais lorsqu'on fait croïtre Tabscisse depuis x = a au point A, jusques li x = b au point L, et qii'ii 

 chaque accroissement on érige Tordonnée, elle obtiendra des valeurs f' [x), oü Ton doit prendre pour 

 X toutes les valeurs successives : une telle ordonnée, D d, multipliée par l'accroissement de x immé- 

 diatement precedent CD, exprime l'aire d'uu rectaugle CQd/, et la somme de tous ces ?t rectangles 

 diflêrera peu de l'aire de la courbe, et finira par coïncider avec elle, lorsque Ie nombre n des par- 

 ties de la distance A L devient infiui, et que par suite chaque partie C D converge vers zéro. En 

 d'autres mots, nommaut OB = a;,, OC = j;^» OI' ^'•^"a ••• o'i ^ura: 



ALZa = Lim. {{x^ _ a) ƒ (a;,) + («, — «J ƒ' (.^•,) + (.c, — *■,) ƒ («3) + .. .} ; 



et la comparaison de ces valeurs trouvées pour l'aire AL?a ramene :\ l'équation (5), la définitiou 

 de Fintégrale défiuie. 



Mais lorsque entre les paints p et 5 ou p et q' la courbe a des branches infinies, ou qu'elle 

 y est discontinue, Ie raisonnement precedent n'est plus exact, car dans ce cas il y a un des rec- 

 tangles a sommer, qui obtient une hauteur infinie OS ou OS', et dont l'aire est par conséquent 

 infinie ou du moins indéterminée. Il faut donc passer a, l'exameu de ce cas de discontinuité [3]. 



S. A eet effet observons en premier lieu, qu'une integrale définie entre les limites a et & peut 

 être divisée a la valeur c de x (située entre a et b) dans deux autres intégrales définies entre les 

 limites a a, c et c a 6 respectivemeut, car il est identiquement : 



bestimmtes Integral I , rintcgrale de formule (6)) et une integrale définie générale (allgemein-bcstimmtes 

 J a 



Integrai I , 1'intégrale de formule (7)) est iniUilc, puisque la dcrnière n'existe qii'autaiit qu'elle coincidc 



avec la première. Decuer *) en pense autrement, puisqu'il regarde l'expression (7) comme la définition 

 véritable de Tiütégrale définie. C'ette déiinition (7) est la primitive, comme elle a été iiitroduite par Ellek : 

 l'autre (6) au contraire est celle de Caucuy f). 



[2] Voyez Eaabe, Journal von Crelle, Bd. 30. S. 173—177. 



*) Dechek, Handbuch der rationucllcn Mechanik. Augsburg, Kieger. IS57. 8°. I?d. I. Einleitung. § 42. S. 107, 

 t) Uaucht, Jouiual de rÉcolc Polytechnique, Cali. 19, p. 510. Post-script. p. 190. 

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