I. 1. N\ 8, 9. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



r/(.r)c2x-+ j'f{^)d^e== {hc)-'/(a)] + {f{b)-f{c)} =f^h)-f{a) = if'{,i)dx ... (8) 



a c a 



Maintenant supposons que cette valeur c de ^r soit celle, pour laquelle la fonction /(c) devient 

 discontiuue. Alors dans la première integrale du premier membre il faut chauger la limite supérieure 

 en c — p(, et dans la seconde integrale la limite inférieure en c-\-qi: oü Fou entend par i une 

 quantité, qui a zéro pour limite, de sorte que pour cette limite même les deux limites changées de 

 1'intégrale redeviennent toutes deux la primitive c. On obtient aiusi l'équatiou : 



f[:v)dx^- f{w)d.c+ /'(x)dx, 



(9) 



Lim.f = (9*) 



Lorsque après Fintégration cffectuée on fait converger la quantité f vers zéro, cette ojKration produit 

 Ie même résultat, que l'on obtiendrait en approchant Ie point de discontinuité des deux cötés, en 

 Ie serrant de plus en plus, et en excluant pourtant Ie point lui-même; tout comme si, dans Fig. 1, 

 OU faisait approcher les deux ordonnées Uw et v\ v' indéfiuiment de l'ordonnée de discontinuité 

 OU de l'asymptote SOS'. ^ 



9. Ce que Ton obtient d'après la formule (9), ƒ ƒ (x) óx =f{h) — f{c -\-qt) +/(c — 'pf) — fa), 



'a 



est nommée par Cauchy sa valeur générale. Lorsqu'on y prend p = \ = q, on obtient la valeur 

 principale de Tintégrale définie h fonction discontinue. 



Mais on peut écrire Téquation (9) d'une autre maniere, c'est a dire en emjjloyant la trans- 

 formation, que nous apprend la formule (8); car on obtient alors, en considérant chaque integrale 

 au secoud membre de (9) comme une difi'érence de deux autres: 



ƒ ƒ {x) dx = ƒ / {x) dx - ƒ /' [x) dx -\- j f (x) dx - r/{x) dx = /(c) -/(a) +f{b) - ƒ (c) - 



e—, 



— f/W'^-r- jy'lv)dx=./(b)-f(a)- rT(x)dx=/{b)-f{a)-A, (10) 



e— pe c c—ps 



f{x) dx , Lim. * = O (11) 



c—pt 



Cette correction A dans Ie cas de discontinuité de la fonction pour une certaine valeur c de a-, 

 qui doit se trouver entre les limites a et 6 de Tintégration, — est ce que Cauchy appelle une 

 integrale singuliere, quil reduit souvent, a raison de ce qui a été dit précéiiemment, a sa valeur 

 principale en prenant p = q=\. [.3]. 



[3] Les intugrales singulières, dont Cadchy a fait beaucoup de cas, ont été introduites par lui Jans 

 l'analyse dans un Mémoire du 22 Aout 1814, publié dans les Mémoires présentés a l'Acad. de Paris, 

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