ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. I. 1. W. 9. 



Peur Ie cas que c coïucide soit avec a, soit avec b on a eucore successivement: 

 A = rfUcLv=f{a-\.q^}-fia) , l f' {.v)dx=f{h)- f[a -\- q,) , Lim. c = O . . . (12) 



^ = i'f[x)dx=^f{h)—f{b — pi) , \ f{x)dx=f{b — pi-)—f{a) , Lim.f = 0. . . (13) 



b — p£ a 



Mais quand on péuètre dans Ie sens des facteurs p et q, qui constituent Ie caractère de la 

 valeur générale de Cauchy, on ue voit pas une raison suffisaute pour les prendre différents de 

 1'unité: et la, oi^i dans la suite nous aurons besoin de ces considérations, nous les prendrons toujours 

 tels, c'est-a-dire nous nc fcrons usage que des valeurs priucipales de Cauchy. [4] 



Tomé I, (Année 1827) page 599 — 799: Mcmoire sur les intégrales dcfinies. Mais dans un Mémoire (iuséré 



au Cali. 19 du Journal de rÉcole Polytechnique, p. 510 — 592 (du 16 Sept. 1822)), sur l'intégration des 



équations lincaires aux différences partielles et a coeificients constants, il en traite plus amplement, ainsi que 



de la définition d'une integrale définie (voir les Observations et Additions). — Consultez encore Ie Bulletin 



de la Sooicté Philomathique, Nov. 1822 et surtout son Ke'sumé des Leijons doimées a rÉcole Polytechnique 



sur Ie calcul infinitcsimal. (Paris. Debure. 1823, T. I (seul) XII et 172. Pag. V). Lep. 25, page 97. 



[4] Tous les analystes ne sont pas de eet avis : voyez Minding, Integralreclinung, Aendt, Grunerts Ar- 



, . r dx 

 chiv, Th. 10, S. 240. Pour éelaircir ce point, étudions l'intégrale définie 1 t" ~ qui devient discontinue 



J Q 1 — X 



pour la vïilciir ;7:=1. Or on a pour i'intcgrale indcfinie les valeurs difFcrcntes: 



ƒdx 1,1+A' f dx 1 .«+1 „ 



1 — x'' 2 1 — X Jl — x^ 2 X — 1 



qui se vérifient aisément : la première vaut seulement entre les limites O et 1 de x, la seconde entre les limites 1 



et oo . Donc pour x zéro, la première donne - Z— = O et pour .r infini, la seconde donne eneore— ?— ■= 0. 



Mais comme on peut les représenter sous la forme ; 



1 



1,1 + .. . ^ ^ "^ -^ 



- 1 et - 1 , , 



2 l—x ^ 1 _ 1 



X 



ces valeurs convergeront vers unc limite identiquement la méme, lorsquc x approche de l'unité, et pour 



cettc valeur même elles seront identiquement égales, comme provenant d'unc souree commune : par consé- 



1 2 

 quent, bien que ces valeurs soient toutes deux -/— , infinies, la différence en sera nraunioius nulle. Donc 

 1 . -1 2 



il ne reste plus qu'a prendre la différence des valeurs de uotre integrale pour les limites O et =o de .r: 



ces valeurs étant toutes deux nuUes, comme on a vu, il s'ensuit que 



/"" dx 



■ o 

 Pasce 7. 



