I. 1. N'. 10. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



10. Pour toute fonction, qui est continue entre les limites de Tintégration, cette correction 

 s'évanouit évidemment, parce que Tiutégrale singuliere s'annuUe et cela est nécessaire aussi afin que la for- 

 mule (6) puisse valoir. Ainsi par un raisonnement inverse on peut déduire de ce qui préccde un indice cer- 

 tain de la contiuuité ou de la discoiitinuitéd'unefonctiou; car dans Ie premier cas la correcfTon A doit 



Voyons maiutenaiit ce qui en est d'après la valeur génerale de Cavcuy. Alors on Irouve : 



\-pt 



l;/ l + l+g^ Y_^l;/l + l-p^ 



4 \l — l — qfj 4 \i — l-{-p 

 i 4 \ qi / 4 \ pt j 4 v2+5*/ 4 \p f / 



4 4 \ 5* 



(ou en passant :i Ia limite zéro de (e)) 



4 4 \p/ 2 p 



comme valeur générale: d'ou il s'ensuit comme valeur ^)r»iCi))aZ<; pour /*== g = 1,-/1 = 0. J'en conclus, 



que cette dernière, qui coïncidc avcc Ie résultat (e), est la seule véiitable, et que la valeur générale ne 

 peut valoir. 



Pour faire rcssortir la nécessité de la prudence, avec laquelle il faut agir dans ces cas de disconti- 

 nuité, nous verrons ce que Plana *) avance sur cette même integrale. Il regarde en premier lieu les 

 formules (n) et (5) comme généralement valables et déduit de cliacune d'elles : 



/•* dx 1,1+^1 "" 1 1 1 /* J* 1 ,r + l 1, 1,1 1 



/ \—x- % l~x\ 2 ' 2^' 2 1—x' 2 x—l 2 2—1 2' ' 



(^) 



Ensuite, toutefois sans avoir égard a la diseontiuuité, il reproduit nulrc résultat (c) ; r de ces valeurs 

 bien différentes il regarde la valeur (d) comme la seule véritable. Mais il n'est pas permis de prendre dans 

 ces formules («) et (i) x plus grand ou plus petit respectivement que l'unité: afin d'y être autorisé, il 

 faut d'abord qu'on en cliange les valeurs ainsi ; 



-i —^—■] +C et -n— ^ -I-C,, 



et dès-lors, a l'aide de chacune de ces formules, on tombera par sa methode sur Ie résultat (c). La 

 raison de cette coïncidence est évidemment dans la circonstance, que pour les points de discontinuité, les 

 deux valeurs de part et d'autre deviennent égales, et que par suite la correction est nullc, comme nous 

 avons trouvc précédemment. 



*) Pl.vxa, .Touriuil von Crcllc, Bd. 17. S. 1. (S. 21). PoissoN en pensc de mume: Journal de TÉcoIe Polytechn. 

 Cah. 18, p. 320 — 341. Sur les integralcs des fonctions, qui passent par l'infini entre les limites de l'integration, et 

 sur 1'usage dos imaginaires dans la détcrmination des integralcs dc'tinie«. 

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