ET METHODES D"ÉVy\LUATION DES L\TEGRALES DÉFINIES. I. 1. N\ 10, 11. 



ètre iiuUe, taiulis que dans Ie secoiitl cas ellc ne sera jias nulle, et Ie plus souvent elle sera infinic- 

 Alors il s'ensuit cucore que néccssairement j /' (.i') dx = ±: x. Ces valeurs de la correctiou dé- 



pendent naturellement de ce que les produits Sf'(p-\-d) soient flnis ou nou [5]. Dans les cas 

 d'indétermination on peut appliquer les régies de la convergence des si'ries [6]. 



11. Jusquici on supposait la fonction ƒ (x) réelle, mais aussi pour une expression imaginaire 

 ie raisonuemeut precedent restera de vigueur: pour démontrer ceci, nous allons déduire la fonnule 

 (4) dans Ie cas d'une fonction imaginaire de la forme (p {ai) -{- iX (x). Alors la fonnule (4.) de 

 Nr. 3, sur laquelle se fondait la déuionstration, devient ici : 



<}i.v-\-5) — q'{x)-\-i[-/X.v+d) — y{x)]=S[,i,'{x)-\-ix{a;)]-{-8{i-\-i,;), oh ij est pour jr [x] ce que 

 t est pour ip [x). 



Maintenant faisons successivement : 

 x=a, a-\-8 ^^a-\-8 ^ -|-ö.j,...a-)-ó'i-j-(5j4---t-^;i— 1, 



t)"=(5,, 3,, ^i^--- Sn » et dusignons les valeurs qu'obtiennent les « et les »/ 



par f = f,, *., «3,... f« , 



et 1j=1]^, »/., iii^--- V" 1 



respectivement, et nous aurous les équations: 



[5] DiENGEK, Journal von Crclle, Bd. 38, S. 266. — Voyez aussi Schlömilch, Gruuert's Arcliiv. 

 m. 11. S. 63. 



[6] Appliquant a réquation (3) les regies pour la convergence des séries, trouvces simultanémciit par 

 Ra.\be *) et DüHAMEL f), on obtient avec Ossi.vN Bonket §) la régie suivante: 



Pour savoir si l'intégrale définie I J(:r)clx devient iufinie ou nou, lorsque pour un c, situc entre « et 

 Ja 

 h. on a ƒ (c) = «5 , il faut 



1'. calculer les valeurs ^)j et r^i des expressions (c — x)'~-/(r) et (c — x)f{x) iou t est une quantitc 

 positive, aussi petite que I'ou voudra) pour .r == c. Alors l'iütcgrale est finie, si ;>, <:^<», et elle 

 est infinie, si 5, '^0. Mais 

 2'. si ;), == 00 et (/j = O, il faut calculer les valeurs 7), et q^ des expressions 



pour X = c. Lorsque ;)j e%i <:^ m , l'intégrale est finie, lorsque q^ est "!> O, elle est iufinie; et lorsque 

 3'. p^_ = a^ ti q„ ■= O, il faut calculer les valeurs p^ et 53 des expressions 



pour .ï=c. Lorsque ;), est <^ oo, l'intégrale est finie, lorsque «7 j est ">• O, elle est infinie; et 

 4'. lorsque ;?3 = « , et 93 = 0, il faut eontinuer de Ia mème mani^re. 



*) Kaabe, Journal von Crellc, Bd. 11. S. 309. — ld, Journal do Lioiiville, ï. 6, p S.'j. 

 t) DuHAMEL, Journal de Liouvillc, ï. 4, p. 214. 

 §) O. BoKNET, Journal de Liouvillc, T. 8, p. 73 

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WIS- EN KATLUKK. VEIIH. UEll KOMXKL. AKAÜKMIE. DEEL VITi. 



