}. i. N'. 1 I, 1:2. TüÉOiUK, PUÜPUiÉTES, F0R3IULES DE TRA\SF0RJIAT10.\, 



,jf,(a-f-,5,)— ,,(a) -\-^['/.[a+Ö ,)—yXa)] =(5,[i'(a) +!Z'(a)] +<h' 1+^^ i 'J i^ 



c,,{a + S,+... + ö„)-fia-\-8,+...-\-Sn-,) + i[yAa+S,+...+ S„)-y_{a+S,+... + S,,^,)] = 



= 5„[,^'(a + 5,4-...-HÖ„_,)^-^•z■(a+ó,+...+ rï„_,^] + 5„^„^-^•5«7;>. 



Mais de ]a iiotioii d'une fonctioTi imaginaire il suit d'abord que la continnitó en dépend de la 

 coiitiuuité de la partie réelle et de la partie imaginaire séparémcnt; par conséquent dans Ie cas de 

 continuité Taddition de toutes ces équations nous donnc : 



,^(a+^-, + ... +,5„)_,p(a) + t[x(a + 5, +... +,5„) -Z W] = ^\ 'f'(") + S, >l'{a + S,) f .. 



+ (')■, é, 4-5j *2 + . . . +«l, fa + i [5, »/, +<5, Vi-i- ■■■ +<^" '/"]• 

 Le raisoiuiement de Nr. 3 donne ici tant S^ f, -{-S.^f^-\-...-\-(),if„=-(), que i5, e;, +i^-,';2 +-'- + '5«'/'i=^''^'- 

 De plus, suivant la supposition et les notations de Nr. 5 on a: 



y {a + ö,-\-... + 8„) + ix(a-\-Ö, + ... + S,,)] - [.p fa) + i y (a)] =■ / ' [,j' (.r) + i y {oc)\ dx = 



a 



^ Lim. \8, ,,' («) + (r, ,7/ (a + .5, ) + . . . + cJ, ,^' (a + .5, + . . . + «!„_i)] 

 + tLim.[^, Z'(«) + <52zVa + ,^,) + ... + ö„z'(«+'5,+.-- + <5,_i)], (14) 



formule, tout-a-fait analogne a la formule (+), tt d'ou rusulte tont le reste du raisonnemeut. 



12. Ce qui précède peut suffire pour établir iine iiotion clairc et précise de l'intégrale définie ; 

 maintenant déduisons de ces principes quelques propriétés génerales de ces foiictions. 



En premier lieu nous déduisons de la formule (o) que 



kf{x)i\£=i\ \j{x)dx (1.5) 



{' kf{x)i\£=i\ j 



pour un A coustaut, puisque Fou peut le considérer comme facteur de chaque terme et par consé- 

 quent comme facteur de l'expressiou entière. Évidemment cette même équation donne encorc: 



ƒ [A (•'-•) +ƒ, (-'■) + ••■] dx - ƒƒ, ix)d^-\- ƒ A {x)d.v + ... , (10) 



fi a 't 



d'oM, par combiuaison avec la précédente : 



j [A , ƒ , (.1-) + A , ƒ, (x) +-. . . J ,^.r == A , ƒ ƒ , {x) dx + A^ j'f^ (x)dx + (17) 



Enfin Fextension de la formule (8) nous donne pour a<c, <Cj< <c,,<i, la rclation 



évidente : 



rb 



\f{x)dx= r'f(j:)dxi-j'^f{x)dx + ...+ J'f{x)dx (18) 



Paste 10. 



