1-T BIETHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFLMES. I. 1. N''. 15, 14. 



lo. Eu dcuxitine lieu la fonnule (3) nous ajiprcud que, lorsque ƒ'(.() garde Ie mêine sigiiü 

 entre les limites a et 6, alors Tiutégrale elle-Diêmc aura ncccssaircment Ie même sigue. Donc mm 



intéijrah dé/iuie j ƒ (.ï) d,c est positive ou nêgativc, lorsque f {x) est toujouis ^yosiiive, on iotijoias 



ƒ 



négative pour toute valeitr de x entre les limites a et b. 



Ou eu déduit: Lorsque f (x) ne chaiuje pas de signe entre les limites a et b, on a toujours: 



I (f (x)f{x) dx = q {a -\- {b— a) o] l f{x) dx, oï\ O < ö < 1 . . . . , . . . (1'Jj 



Car lorsque la fouctioii r/ [x) obtieut sa plus grande et sa plus petitc valeur respectivenient pour 

 x = g et X = p, c"est-;\-dire que pnur toutes les valeurs de x entre les limites a et 6 il est 

 f (g)'^ <f (•2^) > ^ O'), on a, supposant que / (x) ue change pas de signe, laissant ce sigue hors 

 du calcul, OU plutót Ie supposant positif: 



I 'I {9)A^¥^^ > ƒ ■; [x)f[x)dx-> (^ ip)f(x)dx, ou .1 ig) ïy[f)dx > ƒ ,, {x)f[x)dx >., (p) ƒ ƒ (.r) dx ; 

 a (i a a a 'a 



d'ou, pour uue ceitaine valeur h de :r, située entre g et p, I q (x) f(^.r)dx = q (/i) I f{x)dx. 



(t a 



Cette valeur //, située entre g et p, tombe donc aussi entre a et b\ et par conséquent on peut 

 l'exprimer ainsi : h = a-\-Q{b ~ n), pour un e quelcouque plus grand que ;;éro et au-dessous de 

 runité: de telle sorte on obtient l'équation (19), pour Ie cas de ƒ (.f) toujours positive: quaud au 

 contraire elle serait toujours uégative, on n'aurait qua changer Ie sigue des inéquations dans Ie rai- 

 soniiemeut precedent, qui nicuerait toujours au mêine résultat. 



f' /■' 



Suj)posn;is-y ƒ(■?■) = 1, i! vieiit I f{x)dx = ƒ dx = b — a et par suite: 



On ptitt exprimcr la valpitr d'njie irdêgrale d.'jinie ainsi: 



ƒ,,(,,) rf.r = (/--«) .^[a + O (i-«)] , 0<^<1 (20) 



ce cjui veut dire cu langage de geometrie: une aire ALla (Fig. 1) est egale a un rectangle, dont 

 la base est A L, la portion analngue de Taxe des abscisses, et dont la hauteur est quelque ordonnce 

 intermediaire entre la plus grande et la plus petite, que la courbe comporte entre les limites a et b. 



li. Un théorème d'Abei. [7], concernant la convergeuce des séries pcriodiques, donne encore 

 dans notre theorie une application, qui ne manque pas d'iuterèt. Le théorème cité s'éuonce ainsi : 



Lorsqu'on a n quantités réelles p,, /'^ — pn, et encore n autres quantités 9,, q^ — qn, qu:, 

 toutes d'un même signe, sont de valeurs numériques successivenunt dccroissautes, et de plus que 

 pour cliaque valeur entière de n entre O et ti: 



[7] Abel, Journal ron Crelle, Bd. 1, S. 3U. 

 Faf^e 11. 2* 



