I. 1. iN'. \A, 15. THEORIE, PIIOPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOX, 



A<f>,+Pj+--- + ?^«<B, il s'eusuit A.'] i <p ,'] i+p^ q ,+ .■■+ }hqn<Bq , . 



Quand (j, est négatif, on n'a qu'ii cbanger Ie sigiie de Tinéquatiou précédente [8]. 



A present soit pn = V(a + [" — 1] ^) et qn = (p (a -j- [?i — 1] d), 



alors dans Fhypothèse A<5[f(a) +/(a + ö) + ... +/ (a + [«— 1](5)] < B, on a: 

 A<p(a)<5[/(a)*(a)+/(a+Ö)rf(a + cS)+...+/{a+[n-l]^}(jp{a+[«-l]J)]<B,j(a). 



Substituons n8 = b, et passons a la limite de n Tinfiui, les membres moyens de ces deux 

 inéquations devieuueut des intégrales définies, et nous arrivous au résultat suivaut : 



Lorsque l'intégrale indéjime I f{x) da, pendant Ie passage de x depiiis la limite a vers b, reste 



toujoiirs enfermée entre deux valeurs déterminces A et B, et que d\iutre part la fonction (f {x) 

 décroit continuellement pour ces valeurs de x, il s'cnsuit: 



A./(«)< j'f{:c]q{x)dM<:B.f(a) (21) 



(«X //G*0<f 



De la raême mauière on obtient Ie tbéorème: 



Dans Ie cas que q> (x) augmente continuellement depuis x = a vers x = b, et dans les mêmes 

 suppositions que précédemmeni, on a Vinêqnalion : 



Arp(i.)< tf{x)f{x)dx<Bq.ib). [9] (22) 



a 



15. De la formule (16) on peut déduire encore uue applicatiou remarquable a cette integrale 

 définie j J (x) q {a) ds. Ot, Ie théorcme de Maclai'kin nous doiine exactement, comme on sait: 



a 



/(^'O =/(u) + .f/' (0) + f~^f" (0) + . . . + ^),/("-'J (0) + ^^"^ (5.-) , o < 5 < 1 , 



lorsque toutes les jU>) (0) sont finies et que les /(^') {x) sout continues pour toutes les valeurs de x, 

 qui tombent entre les limites a et 6 de x. Ainsi nous avous encore : 



ƒ1' fi' (f' f'(Q) /"* 



f{x)(p{x}d.v=f{0) j ,t(x)d.v + f'{0) I cf{a^)xdx+-'^ ƒ q{x)x^dx-\.... 



a a II a 



a a 



Ce résultat deviant d'un intérêt spécial, lorsque pour la dernière integrale on a: 



[8] La démonstration en est t'acile, car d'aborJ on a A ^i <C 7'i 'ïi' ^^ '^onc d'autaut plus: 

 f^P lil +P2?ï + ••• + pnq,,-- et ensüitepiqi +Piqi-jr ... + Pnqn<ipiq, + Pi9i + --- + Pn^i, done 

 ii plus forte raison <^ B j , . 



[9] OssiAN Bonnet, Joinnal de Liouvüle, T. 14, p. 249. — Chartiek, Journal de Liouviüe, T. 

 18, p. 201. 

 Pase 12. 



