ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. I. 2,0. ^'^ 21— '25. 



ra fb f^b [nh fib^c 



jf{.r)d.v^- jfUc)dx-\- j f(.'r)d.v + ...+ j f (t) dj- + lj{^v)dx. 



Muiiücnant dans les n-fl iutégrales au second iiaembre supposons successivement o: = «, —e-\-b, =..., 



= z-\-[n \]b,= 2-\-nb:a,\ois pour lesn— 1 premières les limites correspondautes deviendront toujours 



O et b, et seulemeut pour la dernière O et c ; de plus, on a partout dx =dz. D'après la formule (I6j 

 on pourra doiic réimir les n— 1 premières iutégrales sous un même sigiie d'intégration, et il viendra : 



r/(,r)c/^= t\f{j:)-\-f[x+b) + ...+f{x+[n-\]b)\dx+ C'f{x + nb)d.r; . . (40) 



^0 'o o 



011 ciicore, par l'euiploi de la Ibrmule (39) : 



fa rhb C'^ 



\f\x)dx^ j [f{a;)+f\b—x)+j\b+x)+f{9.b-.v)+...+f[[n—]]b+x]+f{nb—x)]dj-+ j/{j+nb)dx . (-11) 



•o o '^ 



... Po„ .-„.Vale ƒ/(.).. o. .. .V^, 1» to™«MS). 



— a 



jy{x)dx= i\f{.r)dx^ ("fxdx; 



■— a — a "o 



dans la première integrale du second membre soit x^ —z, dx= —dz avec les limites a et O de £, il vient : 

 /"ƒ (.r) dx = - ƒ ƒ ( - x) dx+ ƒ ƒ (^0 dx = ["/(-.v) dx + j'fix) dx = j [/(^)+/(— ^'j] ('■<!■, ■ (I'S) 



-a a 'o O O "f 



d'oii nous pourrions de'duire facilement les formules (2()) et (27), que nous avons trouve'cs plus haut. 



^ 3. CHANGEMENT DE LA VARIABLE. 



23. Düja au § préce'dent nous avons introduit au lieu de la variable x quelque autre variable 

 y, qui dépendait de la première d'une certaine maniere, de sorte que cette substitutiou devait 

 uécessairement nous faire arriver a notre but. Mais nous pourrions nous proposer Ie problème plus 

 iréncral d'introduire dans une integrale définie 



ƒ 



b 



f {,f (*■)) dx 



la substitution .ji (j ) = y. Supposons que la re'solutiou de cette équatiou donne .r = Z {y), d'oii 

 dx= %'(y)dy; tandis que les limites de y deviennent respectivemeut (f (fit) et (f {b) ; en conséquence il vient : 



fb rr{b) 



\ ƒ {., {x)} dx= / f{y) t{y)dy (43) 



'a f{a) 



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WIS- £N NATl'URK. VEEH. DER KONINKI. AKADEMIE. DEEL VIII. 



