I. 5. N'. '25 — 25. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORJIATION, 



Ou aufrenient: que l'intégrale soit i /'(x) dx, et qu'en mêine temps la relatiou entre Ia variable .c et 



a 



quelque autrc y soit donnée implicitement par IV'quatioii Y {x,y) = 0. Alors on a: 



'■ ^^^^ a. + '^^^^ ., = „ , d'oü dr ^ - ['-^^^^ . ^^-(^H dy. 

 dx ^ dy ^ ' { dy dx ) -^ 



Pour calculer les limites de y, on a les équatious Y{a,y) = et F(è,^)=0; dont la i-ésolution 

 produit respectivement y = (f..{a) et y = (f{b). Enfin, lorsque la résolution de l'e'quation implicite 

 donne ,r = !/■ [y), on aura : 



/■^v^J rf (*) M.F (^ ,y) d.Y{x,y)\ , 



" ?(a) 



24. On peut encore déduire iminédiatement ces résultats de la formule de définition (5). 

 Faisons y a: = (f[y), et supjiosons que ƒ (^) devienne %{y)., et que la suite des valeurs de x-.x,^, 

 x,,x^...Xn corresponde a la suite des y-yo^U i'!/i ■ --yn, nous obtiendrous : 



I "Ax)dx=Um.[y(y,)~^-^{y^)]^{y^).\- (j (^y,)—, Cv ,)} X(.'/ , ) +• • •+ W{yn)-f{yn-x)}x(yn-l]]. 



Mais comme 



Lim. = —- = ,f/ 'y ) , 



yp-^—Ui' dij/, 



on aura aussi : 



/ 



VW'?-^ = Lim.[(//,-yoMyo)z(yo)+(y.-!/,)'f'%Jzf,y,)+---+(y«-j/»-i)t%«^ 



Or, chaque ferme cousistant de deux facteurs, dont Fun fst ((/,,+ ) — i/^,), et Fautre 'j '(ƒ//,) z C'/;-)- 

 c'est-a-dire, la valeur de (V'{y)x{y) pour y—y,„ Ie second membrc peut de nouveau êtrc exprimr 

 par une inte'grale définie, et Ton obtient: 



r"f(x)dx= ('" q/{y)x{y)dy; (4.= 



ce qui revient aux formules précédentes. 



2.5. Dans Ie cours de nos raisoiinements on a pu rcmarquer déja, qu'il peut se présenter uiic 

 difficulté dans ces opérations, quand il s'agit de la résolution de Téquation entre les anciennes 

 et les nouvelles inconnues, tant jjour avoir l'expressiou a substituer pour dx, que pour calculer les 

 nouvelles limites. Car lorsque cette équation comporte plusieurs racines, celles-ci donneront lieu h 

 plusieurs valeurs pour les fonctions cherchées. Mais on sait par Ia theorie des équations, qu'entre 

 une telle paire de racines qui se suivent, il y a toujours un maximum ou un minimum de la fonc- 

 tion, et c'est ce qu'il faut observer lorsqu'on substitue les diverses valeurs de la nouvelle variable. 

 Supposons par exemjile que la résolution de l'équation y = (j- (x) ait donné plusieurs racines 

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