ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. I. ö. N'. 25 — 27. 



.r = F, {y),x='F^{y),x =^¥j{ij) etc, séparées par des maximum ou des miiiiinum, qui correspondent 

 aux valeurs «, |?, y etc. de a;: alors il faudra diviser la distance des limites correspondantes aux li- 

 mites a et 6 de .r daus plusieurs parties, qui vont toujours d'uu maximum au minimum suivant, et aiusi 

 de suite: donc ici dans les parties, situées entre a et a, « et (j, ji et y, etc; et dans chaque integrale par- 

 tielle il faut alors substituer les valeurs de dx et des limites, qui lui sout propres. Ainsi 1'on parcourra 

 toules les valeurs de la fonction a intégrer, tandis que saus cette précautiou on en ncgligerait une 

 üu plusieurs parties entre des limites égales: par exeuiple, soit (5 plus petit que a, il y aura une valeur de 

 x entre a et a qui sera egale a j5, et dans la division de Tiutégrale on négligerait toute la partie 

 de 1'intégrale, qui correspond au passage de la variable depuis cettc dernière valeur (5 pour Ie maxi- 

 mum « jusques au minimum (>'; et ainsi pour chaque maximum ou minimum passé. 



26. Mais ce n'est pas seulemeut pour des racines réelles qu'il fout instituer cette division de 

 la distance des limites: il en est de même pour une paire de racines imaginaires, parce qu'elles 

 aussi iudiquent Ie passage de la variable par un maximum ou par un minimum: et négliger un 

 tel maximum serait omettre une portion de la fonction u intégrer entre deux limites égales, mais 

 qui, séparées par un maximum ou un minimum, revieiment ;\ une autre integrale partielle, lorsqu'on 

 efiectue une division convenable. 



11 s'ensuit encorc que ces maximum ou ces minimum, qui se prcsentent dans Ie cas de l'intro- 

 duction d'une nouvelle variable, ne donnent sujet ii aucune recherche, lorsque les valeurs corres- 

 pondantes de la variable primitive ue sont pas situées entre les limites de rintégratiou ; puisque alors 

 évidemment on ne courra aucun risque de négliger quelque partie iutégrée entre ces limites. Mais 

 jorsque que!qu*-uns de ces maximum ou de ces minimum donnent lieu a une valeur de la variable 

 primitive, comprise entre les limites de son iutégration, ou qu'ils tombent dans Ie cas, que Ton 

 vient d'examiner, il faut absolument diviser la distance des limites pour chaque valeur de la 

 variable primitive, correspondante a ces valeurs spéciales de la variable nouvelle [13]. 



■27. C'est ici Ie lieu d'insérer une remarque relative a Ia substitution d'une variable imaginaire, 

 bieu que Ton y doive anticiper sur des considérations ultérieures. Soit une integrale : 



I 



rpf(pj)d,; (4.6*) 



et p une constante réelle ou imaginaire, telle que fypr] reste continue entre les limites de Tinté- 

 gration. Alors on peut supposer px --^ ij, d'oü p dx = dy ; et encore la limite O de x donnera 

 ü pour limite de y ; mais, quoique a la limite xi de x corresponde la limite oo de ij, lorsque 

 p est réel, il n'est pas évident ce qui en est dans Ie cas de p imaginaire : c'est-;\-dire, ia 

 formulf . 



I = ffi'j) 'h (46) 



o 

 n'est évidente que pour un p réel. 



[13] ScHLöMlUH, Grunerts Archiv, Th. 18, S. 391. 

 Pacre 19. 'i* 



