I. 3, 4. i\'.27, 28. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



Dans Ie cas d'uu p imaginaire, difFérentions la formule (46*) par rapport ap; d'après ce que 

 Jious appicnd a ce sujet Ie § 4 suivantj il vieiit: 

 dl f^ 



JZ'^ I {f'^P ''■) + Pf {P *■) *} '^•^' 



OU, lorsquon ajjplique au dernier terme l'intugration par parties (voyez Ie Nr. 41 suivant) : 



ƒ pf {p-c) ^dx= j X. d.fipa^ = xfipA — j fipx) da-, 

 o o o "o 



et doDC par la substitution de ce résultat daus Téquation précédente : 



J'^ f f^P^^ ^-^ + ^f(P^)\ — I f^P^^) <^^ = ^/(PJ!)] ■ 

 'o o 



Or, d'après la suppositioii, inflp. 0), iii f{p.x) ne deviennent infinies: par conséquent il est xfipx), 

 pour .V zéro, 0./(p.0) = 0. Supposous encore que pour x infiui la valeur aof(^p. oc) de xf{px) 



s'évauouisse en même temps, nous en tirons , - = 0; c'est-a-dire, que l'intégrale 1 est indépeudante 



de p. Lorsque encore parmi les valeurs de p, qui reudent continue la fonctiou fipx) entre les li- 

 mites O et cc de x, il se trouve la valeur l'unité de p, il y aura évidemment identité entre les 

 deux expressions (46*) et (46). Par conséquent on se trouve conduit au théorème suivant: 



Lorsque on sait qu'une fonction f(px) reste continua pour les valeurs de x'entre O et oo, 

 que Ie produit xf[px) iannulle pour x injini, el que la valeur Vunilé de p satiafait a la premiere 



condition, Vintégrale \ pf(px) dx est indcpendante de p, que cette constante soit réclle ou imaginaire, 

 et elle peut étre remplacée par l'autre plus simple lf(x)dx. [14]. 



^ 4. DIITÉRENTI.VTION d'üNE INTliGRALE DÉï'INIE. 

 28. Considérant une integrale définie, sous la foroie la plus générale 



ƒ 



R 

 f{Q,x)dx, 



comme uue fonction des frois quantités, r, E et q, on peut se proposer Ie probième de la diflereii- 

 tier par rapport h, une de ces quautités séparément, oii alors les autres peuvent se présenter comme 



[14] Caucht, Comptes Rindus de l'Acad. de Paris, 16 Oct. 1848. — Raabe, Journal von C'rcllc, Bd. 

 48, S. 160. 

 Pase 20. 



