ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. I. 4. N'. "28. 



coustaiites par rapport h, celle-ci, ou comme dq)eiidai)fes dn cette quaiitité. Commeiicons par la 

 derniure supposition, qui est la plus générale, et preiioiis dans Tintégrale précédente q comme Ia 

 quantité par ra2Jport a laquelie nons voulons la diflerentiir, tandis que les liinites »• et II sont 

 censées dépeudautes de q : alors Tintégrale, comme fonction de ^i, peut se designer par F (o), et l'oii 

 a, en s'arritaiit aux différeutielles premières par rapport u q : 



f^-^p'"' c d.fi<,,x) ) /■''(■ (/./To,i-) 1 



r iQ + dn)=. j h-{o,T) + --—-^ 'i Q\dx== j !^f{Q , .,■) + -^^ dn\ dx + 



R "i- 



oh Ton a employé la formule (18). Dans la dernière integrale substituez x = ij -{- r, dx=dy, 



dr 

 avec O et -y-dq comme liraites de y; et dans ravant-derin'ère de même .r=c-}-Il, rfj = t/i avec 



J T> 



les limites O et -,^dn de ^ ; alors la somme de ces deux intégralcs devient : 

 d(j 



j'^''[/(c.^ + RJ + '-^'^^'; + ^^ d^dx- ji" lf^,,. + r) + '-f^^^d,]d.r. 

 o o 



Mais dans les deux intégrales la distance des limites est une di Herent ielle; dans 1'emploi de la 



d R dr 



formule (3) il faut done se contenter du premier terme; pour a zéro et b= -j—dQet = '^^dg 



respectivement, elle donne pour 1'expression précédente : 



dB, f, d-f{Q,'R) 1 dr i d.fh.r) ■. 



— cio [/'(e, R)+ -'^./yj- -rf? [/•((,,,•)+ -~^d>^ [b) 



Substituons ceci daus réipiation {a), soustrayons-cn l'intégrale primitive ¥ {q) = j f [q , .e) dx et 



divisons par dg, nous obtiendrons; 



VU>+dQ)~-E{Q) t^d.fi(>,:v) c/R dr td,r\o,ll)dR d.f{G,r)drl 



— ~Tn = / ~:^ — '^•«+/(c'.R) — —ƒ(('.'•) 7^ + 1 -—, — T"— —. — -v\dQ- 



aq j üQ üQ a Q *■ dQ üQ üQ dgi 



Or, daus Ie raisonnement. qui a coiiduit ;i la formule (a), on a négligé les difl'érentielles supérieures 

 a la première: ici donc, aprus la division par d(>, on doit négliger Ie dernier terme a facteur dq, 

 ou plutut ce terme s'évanouit nécessairement pour la limite zéro de dq. Eu outre Ie premier 



membre de Téquation j'récédente est — j-^ ; par conséquent il vieut : 



d.I'iQJ d. /-H f^d.fiQ,x) ^ dR ^ dr 



— =-j Jiq,x)dx=^j -^dx^fi,,R)---A,,rJ~; .... (47) 



ce qu'il s'agissait de trouver. 

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