I. 4. N'. 29, 50. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



29. Le cas général, oii la foiictioii intégrée et les deux limites dépendent toutes de o, comme 

 nous venons de supposer, comporte quelques cas spéciaux. Ainsi en premier lieu il se peut que la 

 fonction ne dépende pas de (j; alors elle devient simplemeut ƒ (a'), et l'on a: 



dU dr 



= /(e,R)---/(o,r)-- (4S) 



dn ClQ 





Lorsque encore r et R sont alternativement indépeudants de o, on en déduit ; 



— / f{x)dx=^f[\l)-^ (49) 



dQ \ " óq 



d. f dr 



-- f{^)dx = -J(r)~ (oü) 



u (> I dn 



■'/, 



Lorsqueau contraire ce sont les limites, qui ne dépendent pas de e, tandis que cette lettre 

 entre seulement dans / (ji , a;), il vient : 



J- / /(CSA-)<^A' = 1 --f^ — dx (ol) 



a a 



30. Les considérations précédeutes nous apprennent, que le second niembre de la formule (47) 

 cousiste de trois termes, que Ton retrouve séparément dans les formules (51), (49) et ^50). Mais 

 on peut encore déduire isolement ces trois formules, et aftermir ainsi les résultats obtenus: 



en même temps cela donnera lieu a quelques remarqucs. En premier lieu, dans TintégraleJ ƒ (.») dx 



faisons croïtrc la limitc K, d'une dillerentielle c/ 11, la formule (3) nous donnera succcssivement : 

 ' f[x) dx = Lim. [.5 (ƒ (a) + ƒ (a + .^) . . . i-/\a +[«-!] <5)} ], 



ƒ 



ƒ 



f{x) dx = Lim. [Ü {/» + ƒ (a + <>)+...+ ƒ (« + [n - 1] <^) + ƒ (a + mï;} ] ; 



et par conséquent 



f{x)dx- l f(x)d.v 



- ^- [^\-r ^ , Li m.<)/(a + n.)) ., , v, .,p, 



— -^^ -d^r ^'^ ^ ~dR^o - = '^""- -^('^ + " '^ =-^^^^' 



puisque (iR peut être considérée comme étant le S de formule (3), et de même a-|-74(5 = R. Ce 

 résultat n est autre chose que la formule (49) : car, si R dépendait de quelque autre quantité e, 



ou aurait dB, = -i—dq, et, en multipliant de part et d'autre par -r- , on retrouverait la formule 



citée. Mais encore on peut écrire 1'équation précédente de la maniere suivante: 



^R+</R rR /-R+dR 



f{.r)dx- j f{x)dx^ i f{x)dx = f [n)d il. 



a -^R 



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