J. 4. N'. 50 — 3Ö. THEORIE, PROPRIETÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



zéro, est uiie integrale singuliere, exprimant la cnrrection qu'il faut ajouter a Tiutégrale (51) et 

 par conséquent aussi u l'intégrale (47) dans Ie mêine cas. 



ol. Reuiarquons enfiu, que de ces trois formules (49), (50), (51), que uous venous de dé- 

 montrer isolement, on peut remonter ti 1'équation générale (47). Car l'intégrale F (q) est uue fonction 

 de R, r, et q, ou q est pris pour la variable indépendante dans la diflerentiation : maïs la diffé- 

 rent iation partielle donne : 



dF ldF\ ld-F\ dB. !dj\ dr 

 dn^\TQJ^\dRj dQ'^\drj dQ' 

 et comme les coefflcients différentiels sout exactement donués dans les équations citées, on peut les 

 y substituer pour retrouver ainsi la formule (47). 



Cette opératioii, et surtout celle de la formule (51), qui se présente Ie plus, est désignée 

 comme la différentiation sous Ie signe d' iiitêgration par rapport a une constante, ou bien comme 

 la variation d^une constante de l'intégrale [15]. Leibnitz l'appelle une differentiatio de curva in 

 curvam, [16] et cette expression s'expliquera dans la traductiou géométrique des discussions 

 précédentes. 



32. Soit (Fig. 2) OA=r. ()L=R et l'aire ALZa l'intégrale detinie jf(Q,x)dd: Faites 



varier la fonction ƒ (o , .r) par rapport a q; alors cette aire deviendra AL?. « et s'augmentera ainsi 

 de la partie alXa. Ensuite supposez r dépendaut de q, alors par la variation de q, il deviendra O B, 

 ce qui fera dimiuuer l'aire primifive de la partie AB6a; de même la variation de R (comme 

 fonction de o) qui deviendra OM, augmentera l'aire primitive de la partie LM»»?; ces considé- 

 rations expliquent les signes — et -|-, qui se trouvent dans les formules (50) et (49). Et lors- 

 qu'on passé aux limites, on trouve encore Lim. AB6a^=Aa.é = ƒ (a),Lim.LMwïZ =L Z.f' =/(6), 



f' 

 comme dans ces formules; tandis que de même Lim. al).n^al.(' = Lim. (/ des accroissements des 



(t 



ordonnées), Ie résultat de la formule (51). Mais lorsqu'on fait varier les limites et la fonction intégrée 



simultanéinent, l'aire primitive ALZa devient BM.'<(?, ne différant de l'aire Kil cc que par la 



diffcrence linfiX — ah (ia, c'est-a-dire par celle de deux aires différentielles, différeiice, que 1'ou doit 



négliger par conséquent; et cela nous conduit a la formule (47). Ainsi la courbe al est devenue 



§ I-I, et voila Forigine de IVxpression de Leib>;itz. 



•33. Afin d'obtenir une formule symétrique, lorsqu'on continue de diflerentier la formule 



(47), appliquons h ses deux dernicrs terraes la formule ideutique qdp = d.pq — pdq, et elle 



devient : 



[15] Gruneut, Gnmerts Archiv, Bd. 2, S. 266, qui pourtant ne fait pas raention de la correction 

 ui de sa cause; ncanmoins on a souvent etc conduit a des résullats erronés pour avoir négligé cette 

 correction. 



[16] Leibkitz, dans C. G. Leibxitii et Jou. Beknouillii, Commcrcium epistolicum, Tom. I. (Lausannae 

 Bousquet. 1745. XXVIII et 484 Fag. 4'.) Epist. LIX, LX, p. 319—322 et la réponse de BERNOtiiLi, 

 Epist. LXI, p. 323—333. 

 Pacre 24. 



