ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. I. 5. N\ 57, 58. 



edQ = ^Um.5 d(> ^~-^f~^d^==^Um.8 do ~^^d-^-- ■ (67) 



o ■ o ' r {.) 'r 



68. Lorsque les limites R =a et r = Z> ne dépeiiclent pas Je (), on se trouvera ramene a la 

 formule (61): mais quaud au contraire eest la fouctioii .jj (o ,a'), qui ue dépend pas de (j, et qui 

 dès-lors peut s'écrirc ip (*•), on a: 



'P , . , , . ., s /''•F(c'.!/)\ ''-'tC'/) 



- ^ ^ Q " ■ 



dl/ 



f . /''•F(c'.!/)\ 



i'C?.'^)^ ƒ *(-«)'^? "=?■/'(■*-■) ./(c''i/)= ( — ^t; — ) 



•o 



en tire: 



fP dy fP d.a,{,j) dii , )^ [^ , , , / s f 



par la methode de l'iutégration par partjes, et ensuite: 



fPdv iP dn /P dy CPdy fP 



■'o •'() ' >> " o •'o 



Substituons ce résultat pour y ~ R. et y =- r, et observons que j '^ [x] do = q(j) (a-), puisque x 



il 

 est indépendaut de q, nous aurons: 



fP fU fR rp dU fP ^ d?- 



j do j q.{x)d.v = Q / if.:{x)dx— / Q,f{R)--dQ+ I oiV{r)-d(, (68) 



Gr r O O 



Mais 1'intégration par parties nous donne eucore : 



ƒ? dy ]P [P d.Q(f(y) 1^ f d.(p(7j)dyi 



,.p(y)-__cZ, = ,<p(y).2,J-/ y-^^.f,==,j/,.(2/)--- ƒ y^(>|qp(2/) + ? — -j: 

 u O -o o 



donc par rintroduction de ce résultat tant pour y = 11 que pour y =■- r, il vient : 



fP /-R /-H fPd.q(R]dn iPd.q{r)dr fP 



I d() I q{x)dx=^Q I if(x]dx-{- I r -—UodQ — ƒ — r">'nd)>-^ I R(j'(R)(i(i — 



J .1 J J dn dQ J d7- dQ J 



o ;■ r o O O 



- l'rq{r)dn-Q[Rq,{n) — r,f{T)] (69) 



"o 



Lorsque dans ces deux expressions ((58) et (69) on suppose r = a indépendant de o, on a 



dr [P 



3- = O, ƒ r 9 (r) d p = a p (j) (a) ; et par suite: 



do j 



Paije 29. 



