ET METHODES D'ÉVALUA.TIOi\' DES INTÉGRALES DÉFINIES. I. 5. N'. 42, 4ö. 



42. Les formules précédcDtes (75) et (7()) soiit donc des équatious générales, qui contiennent 

 la methode d'intégratiou partielle comme uii cas spécial, de sorte que cette methode est intimement 

 liée a la formule de Berïeand (74), qui même pourrait se déduire de la dernière (78). 



Dans toutes les formules de ces trois derniers imméros on a négligé la corvection, c'est-a- 

 dire, on a supposé ia fünction intégrée continue entre les limites de Tintégratiou. Mais il peut 

 arriver encore dans la formule (7S\ que Ie produit /(a;) . I'(a!) devienne discontinu entre les li- 

 mites de Tintégration, par ex. peur x = c (oii r <^ c <^ R) : or, dans ce cas il est très-facile de 

 calciiler Ia correction nécessaire suivant la formule (11), qui donne ici : 



A =/(c + *)1^('- + O -ƒ(''■ -*)i^(«-*) . Liin.* = (80) 



43. Lorsqu'on vcut appliqucr plusieurs fois de suite cette methode d'intégratiou par parties, 

 il vaudra mieux nous aider de cette métliode pour des intégrales indéfinies; alors elle donne suc- 

 cessivement : 



/ F (,r) f/,c = F [x] — I — ; ; a.r , 



ƒ ' d.v" dx"-^ J dx"-^ dx 



fd.Y(.r) d>>-Kflx) d.-p{x) d'^-^-.fix) Cd<'-\f{x) d\Fi.r) 



— I dx ^= — ^ -|- / ^ — 



f d.r dx"-i dx dx"-^ I dr«-2 dx^ 



dx . 



rd"-^.f{.v)d\f(x) d"-^.l^{x) d.f(x) , fd.f{x)d"~\Y{x) ^ 



_ i)»-2 j ^-J !A^' (lx = (— l)«-2 ^' -^^^^ + — l)«-i ƒ -^^ \-^ dx , 



^ ' j dx"-^ dx'' ^ ' dr«-2 dx ^^ ' J dx dx"-^ 



Quand on prend la somuie de toutes ces équations, toutes les n — 1 intégrales au premier menibre, 

 sauf la première, s'élimiuent contre ces mèmes fonctions au second membre, et l'on a : 



ƒ 



,w *'-A-i- , (/''-I./.Ï f/. F(a-) f^-2. ƒ(«) d"-^.Yix) d.f{x) , 



F {x) ~^ dx^V ix) i^ - ^ •'-^~ J. . . . -L. (_ 1 n-2 -^ l ' -^ + 



^ ' dx" ^ ' dx"-i dx dx"-^- ^ ^ ^ ' cb»-2 dx 



+ 



d"-i.F(^) /•t^«.F(.«) , 



Pour qu'on puisse passer maintenant ;i Tintégration définie entre les limites a et b, il faut que tous les 



d'" f(x) d'« F(a') 

 coefficients difl'érentiels — ';----, — V-— , POur les valeurs de m depuis O ii ?i — 1, restent continus 

 dx'" dx'" 



entre ces mt'mes limites; ou du moins, dans Ie cas contraire, que les corrections, d'après la formule 



(80;, en devienuent linies et déterminées. Dans ce cas ou trouve: 



\Y[x)- ;--^ dx = (— 1)" / f(x) —r^ dx + 2(- 1)"' — r-^ — ; ^ [ • • si 



a a 



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WIS- EX NATVl'EK. VEKH. DER KONINKL. AKADEUIE. DEEL Vlll. 



