I. 5, 6. N'. 4Ö, 44. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORJIATION, 



d"'.f(x) 

 Cette formule devieut beaucoup plus siinple, lorsque tous les coelRcieiits — ^-^^, ou bieii tous les autres 



— T — —, s'évaiiouissent entre les limites a et i de l'iiitégratiou, pour les valeurs O a w — 1 de ni. 

 Car alors on trouve : 



/•* d^ffx) f' ,„, 



j ^w-ir^— (-^r//(-)-^^- (''^^) 



ui se présente sous la 



fait F (.r) = j;"-', il s'ensuit que - ' ■ = d '—^ = ei . l«-i/i = 0: de plus ou a: 



^ dx" dx"--^ ^ 



Il y a encore un cas spécial, qui se présente sous la forma d'une série seulement. Car lorsqu'oii 

 d>".'E{a) 



{n — l)m|— I a;"— "'— 1 = (n — m)'"!^ x"-'»—^ ; et par conséquent: 



ƒ 



dx"' 



d" 

 1 — 



,^n-\ -^!±J. ^l^ = ^ (_ 1 )'" (h _ ot)'"/ 1 .ï"-"' - 1 =^^ I 



^ (_!)»-«-! (,„4.i;.-«,-i/i.^„«^I^r (8:3) 



§ (). INVERTISSEMENT DE l'oRDRE DES INTÉGRATIONS DANS VES IXTEGRALES 

 DliFINlES DOUBLES. 



44. La formule (62) de Nr. 35, qui nous apprend a iutégrer une integrale détiuie par rap])ürt 

 a quelque constante, donne encore lieu h. un autre geiire de raisonnemeut, lorsqu'on Téludie sous 

 uu autre point de vue. Eu effet on peut cousidérer la constante q, par rapport a laquelle on a 

 intégré, comme une secoude variable indépendante, et alors les deux membres de l'équatiou citée 

 constituent des intégrales doubles, comme on les appelle. On s'en représente la génération de la 

 même maniere que celle des intégrales définies ordinaires, d'après ce qu'on a vu au Nr. 4. Ainsi 

 pour b = a-\- 7td,Lim.8 =^ O, ou a d'après la formule (3): 



F(j/) = jf[y ,^)dx = Lim. ['H/'(3/.«) + /(3/,« + 5) + • • • +./'(,'/,« -h [«-1] S)}]; 



et de même pour q = p -\- nu , Lira. * == O : 



Tp (y)dy ==Lim.[.{E(p) + F(p + *) + ... + F (p+[«i-l].)}]. 



1' 

 Lorsque maiuteuant dans la dernière série on substitue pour chaque terme sa valeur, comme elle 

 suit de la première équation, on obtient la série doublé: 

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