P R E F A C E. I" 



plus i^raiide que les autres. Dans 1'applicatioii pour chaque cas spécial, lorsquon croit pouvoir 

 s'en servir pour révaluation d'une integrale définie proposée, il faudra nécessairement clioisir parini 

 ceux, qui semblcvont être propres a de tels cas : mais presque jamais on ne sera assuré d'avauce que 

 la clieuiiu iiiunora nécessairement au but que Ton désire atteindre. Toutefois ce chemin est aplani 

 de beaucoup, depuis que les Tables d'lntégrales Définies peuvent dispenser du calcul fiual, en gé- 

 Héral Ie plus dilficile et Ie plus iucertaiii, aussitot que l'ou aura reduit l'intégrale proposée ;i nne 

 autre déjii évaluée dans ces Tables. 



Mainteuant toiis les matériaux étaient dispoiiiblcs pour procéder li Tévaluation des intégrales 

 définies proprement dite. lei Ie champ était bieii étendu et se trouvait bien défriché daus quelques 

 endroits, bien inculte encore dans d'autres. Mais avant tout il fallait Ie diviser en Sections bien 

 clairement limitées : et ici, comme on vient de Ie voir, c'était la nature de ces methodes qui devait 

 servir de guide; ainsi on se voyait conduit naturellement aux sept sections suivantes, ou chaque 

 methode occupe uu paragraphe: 



Section I, conlenant 5 paragraplies. Methodes directe?. 



Section II, contenant 12 paragraphes. Methodes qui ramènent ;\ des intégrales définies. 

 Section III, contenant ." paragraphes. Methodes qui ramènent -i des inté<:;rales définies doubles. 

 Section IV, contenant .'J paragraphes. Methodes qui ramènent a des séries. 

 Seclion V, contenant 3 paragraphes. Methodes qui ramènent i\ des équations différentielles. 

 Section VI, contenant 1 5 paragraphes. Methodes pour déduire d'une integrale définie connue d'au- 

 tres intégrales définies. 

 Section VII, contenant L paragraphes. Methodes particulièrcs (qui n'entraient dans aucunc des 

 sections précédentes). 



Observons en général que la Sixième Section contient nécessairement des methodes ctablies 

 sur les mêmes principes que quelques-unes des methodes dans les sections précédentes, mais qu'ici 

 ce sont pour ainsi dire les methodes inverses de celles-la: qu'ici on part d'une donnée connue 

 pour obtenir un résultat dont quelquefois on ne saurait pas méme présager la forme: tandis que 

 la on tache de ramener uue integrale définie a évaluer a une autre fonction, qui soit connue ou 

 dont on puisse déterminer la valeur, pour obtenir ainsi l'évaluation de la première. 



Pour 1'application, les théorèmes, déduits dans la Partie Deuxièine, se trouvent distribués dans 

 les Sections diverses, sauf dans la cinquième et la septième, et font toujours Ie sujet de la dernière 

 Methode de chaque section. lis ont pu donner lieu ;\ uu assez grand nombre d'lntégrales définies 

 nouvelles, grace a Femploi des Tables de ces fonctions. Mais aussi par les autres Methodes on a 

 évalué diverses intégrales définies, tant de celles qui se trouvaient déja consignées dans les Tables, 

 que de formules nouvelles. Parmi les intégrales définies connues il se trouve quelques-unes qui 

 peuvent être déduites par diverses methodes ; c'est ce qui a été fait quelquefois, et alors des notes 

 renvoient toujours aux autres lieux de déduction : ainsi elles donnent parfois un exemple frap- 

 pant, cominent dans cette theorie on peut atteindre un même but par des voics tout-a-fait dift'é- 

 rcntes. Ces exempks montrent en outre comment quelquefois les limites couditionuelles, rcsultant de 

 quelque methode, sont élargies par une autre; que telle methode exige nécessairement que quelque 

 constante soit entière, ou positive, ou moindre qu'une certaine quantité, ou en certaine relation 

 avpc quelque autre constante: tandis qu'une autre methode n'a pas besoin de ces conditions. 



