II P E E F A C E. 



D'après ce qui vienl d'utre observé, ce travail est flivisé eii Trois parties : 

 Pai'tie I. Princijses de la ilu-orie des inlctjrales dcfinies. — qiii en compreml !a theorie et les 



ptopriétés; 

 Partie II. Fornmles de tran.ifoniiation générales, — dont on trouve Tapplication dans la 

 Partie III. Écaluation des hitégrales défnies, — qui traite des diverses methodes, imaginées et 

 employees dans ce but. 



En premier lieu j'ai voulu réunir niéthodiquement toutes les discussioiis sur des points spéciaux 

 de cette theorie, lesquelles se Irouvaient éparpillées dans divers écrits, — et surtout je voulais 

 tacher de les déduire des mêraes principes, qui devaient fermer la base de cette theorie: c'est en 

 quoi je réussis au-delti de mes espérances. De la uotion et des propriétés fondamentales des inté- 

 grales définies découlait naturellement iout ce qui se rapportait au changement tant des limites 

 que de la variable indépendante. De plus on en déduisait la différentiatiou de nos fonctious par 

 rapport a une constante: et de ces formules, par un retour facile, on en venait a leur intégration; 

 ayant égard toujours aus équations de condition, lorsqu'il y avait des cas d'exception ou de dis- 

 continuité. Les derniers théorèmes donuaient lieu a trois discussions dilférenles: d'abord sur Tin- 

 vcrtissement de l'ordre des intégrations daus les intégrales doubles; eusuite sur la theorie des 

 intégrales définies a, limites imaginaires; enfin sur Ie théorèrae de EouiiiEii. Ce théorème exigeait 

 par contre une étude de la limite des intégrales qui contieiineut une constante inSnie, et par la, 

 on se trouvait conduit naturellement aux intégrales qui contiennent des fonctions périodiques entre 

 les limites O et od . Ces derniers paragraphes donnaient des théorèmes, dont il fallait faire usage 

 dans les autres parties de ce travail. Quant aux intégrales doubles, il n'entrait nullement dans Ie 

 cadre actuel d'en donuer une theorie complete : seulenient on a traite de ce qui était nécessaire 

 h. notre but. 



Maintenant il fallait en venir aux applicatious des principes solidemment établis et des pro- 

 priétés déduites dans la Première Partie, — applications, tant générales, autant qu'il en résultait 

 des théorèmes généraux, — que spéciales, lorsqu'on obteuait Févaluation d'une integrale définie 

 spéciale. Or, dans Ie dernier cas il importait principalement de distribuer les diverses methodes 

 suivaut un certain système quant a leur nature ou quant au principe qu'elles représentaient : il 

 ne s'agissait point de la forme, sous laquelle Ie résultat se présenterait. Dans Ie premier cas au 

 contraire, la déduction de théorèmes généraux, c'était plutót la nature du résultat qui devait être 

 Targument de distribution : ici la cliose importante était Ie résultat, Ie théorème acquis lui-raême; 

 la maniere, dont on s'y était pris pour Ie déduire, avait moins d'importance. 



Par conséquent la Deusième Partie devait être divisée en quatre Chapitres, seion que Ie 

 résultat se trouvait être une évaluation directe, la réduction a une autre integrale définie, ou la 

 réduction ti une série; ou qu'il s'agissait d'une réduction d'intégrales doubles. Dans Ie Troisième 

 Chapitre on distingue les cas daus lesquels les séries se composent de quantités finies ou d'intégrales 

 définies, en réservant pour Ie troisième et dernier paragraphe quelques théorèmes généraux d'une 

 grande importance. Mes recherches me conduisirent a uue nouvelle source de quelques théorèmes 

 bien interessants, quand Timpression de ce Mémoire fut déja trop avaucée pour qu'ils fussent insérés 

 a leur place propre, et Ton devra les chercher par suite dans les deux Additions a la fin de Touvrage. 

 Par des voics diverses on est conduit a .316 théorèmes généraux dont quelques-uns ont une portee 



