ET MÉTÜODES D'ÉVALUATION Dl.S IM'ÉGRALES DÉFINIES. I- 6. N'. 44,45. 



rf{,j)dy== rcJy if{y,x)dx-^ 



i> P 



= Liin. [ó' t( { ƒ [p , a) +ƒ [p,a + Ö) +ƒ (^. , a + 2 ^) + . . . + ƒ (p ,a + [h — 1] 5)} 

 + {/(/;-l-é,«)+/lP+^« + ö)+/(;> + c,a + 2c))+... +/(;?+*, «+[«-1]^)} 

 + (■yi:p+2f,a)+/(p+2é,a+i5)+/(p+2f,a+23)+ ... +/(p+2*.«+[«— 1]^)} 

 + 



Mais lorsquon fubstitue les diverscs valeurs de q {x) = j f {y ■, x) dy dans la série pour j ./ (.r) f/.r, 



/ d,; \f{y,x)dy^^ 



a p 



= Lim. [Ö i{ (ƒ (p , u) +/(p + * , a) +ƒ ( p + 2 f , a)+ . . . +f{p + ['« — 1] f . «)} 



+ |/(p,a+Ö)+/(;:. + f,a + ó)+/(p + 2f,a+ö)-j-... +,/'(p + ['«- 1]^ ,« + ^)} 



+ [/.;j,a + 2a)+/>4-f,a+25)+/0+2é,a+2(5)+... +/"(/^+['»- l]f,'T + 2.'i)} 



+ {/[p.ai-[n-l]S)+f{p+i,a-\-[n~l]S)j^f{p+2e,a+ln^l]S)+ ... +/(p+[»n— l]f,a+["— l]^j} )]• 



Or, comme dans ces deux expressions les séries horizontales de l'une correspondent aux séries 

 verticales de l'autre et réciproquemeut, les deux séries doubles sont identiquement égales, et par 

 conséquent les deux intégrales doubles, dont elles expriment la valeur, seront égales aussi : on se 

 trouve ainsi ramene a la formule citée (62), qui ici prendra la forme: 



ƒ% jf{y,x)dx=-- j djo t'f{y,x)dy (84) 



pa a p 



ïoutefois il ne faut pas perdre de vue que l'emploi de la formule (3), qui est la base de toute la 

 démoustration, repose sur la condition que la fonction ƒ (y , a-) reste continue entre les limites de 

 l'intégration, et comme elle est inlégrée tantot par rapport a x, tantöt par rapport a y, il faut que 

 f{y,x) reste continue pour toutes les valeurs de x entre a et Z> et toutes les valeurs de ?/ entre /> 

 et q simultanément. 



Ces considérations sur la theorie des intégrales doubles délinies pourront nous suffire pour 

 Temploi dans la theorie des intégrales définies ordinaires: c'est pourquoi nous nous arrêtons ici 

 daus l'étude de ces fonctions, qui sont d'un grand interêt dans 1'Analyse, mais dont la theorie 

 peut être considérée comme une partie a étudier séparément. 



45. Cette formule (84) nous apprend maintenant que dans uue integrale doublé il est permis 

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