I. 0. M'. 45, 40. THEORIE, PROPfilÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOX, 



(Tinvertir l'ordre des intégrations, pourvu que Ia fonction iiitégrée soit continue pour les deux 

 variables [23]. 



Quoique cette methode soit devenue célèbre par l'emploi multiplié, qu'eu ont fait PoissoN et 

 La Place, et cela a bonne raison, comme on verra dans la Troisième Partie, il est juste d'ob- 

 server ici avec Lejeune-Üikichlet [24], qu'elle est due a Euler, qui en a traite dans son mé- 

 moire // Metliodus nova et facilis calculum variatiouum tractandi." [25]. 



46. Passons au cas, ohf{y,a;) devient discontinue; a, eet efFet il faut d'abord prendre deux 

 fonctions cf y , x) et if/ (y , x), telles que 



-—-=;(,,,.) et _— -=;(^,,.): 



d'oii Ton déduit ia relation nécessaire iISJLlzL = •'/'LV'-^J ^ Alors, pour Ie cas que la fouctiüii 



dx dij '^ * 



f{y,a:) reste continue entre les limites a et ö de x, et entre celles p et 7 de y, l'équation (6) 



nous donne: 



f{y,(c)dx = ci,{>j ,b)— ^[,j ,a) , ■. (85a) 



f{y ,x)dy=H>{q,x)~ii,{p,x); (856) 



de sorte que la formule (84) devient dans ce cas: 



/'%[<iP(y,^') -'?(.'/,«)] = j'dx[^p{q„,)-,i,[p,x)] (85) 



p a 



Mais lorsque f{ij,x) ne reste pas continue entre ces mêmes limites, il faut y apporter des cor- 

 rectious. Distinguous u eet eflet trois cas, essentiellement divers quant au résultat, suivant que la 

 discbutinuité a lieu pour 

 1^ .•c = e, oü c est situé entre a e.t b; alors on trouve d'après la formule (10): 



ƒ6 /-c+d 



/(y,.r)<te = g)(y,6)-qp(y,a)-/ /(y,^-)df = ,,(»/,6)-.,(^,a) + <,(y,.— (5)-,ï(i/,<-- + ^}.(86«) 



a c — i 



X = a, la limite inférieure de x; alors suivant la formule (12): 



th ra+S 



jf(y,x)dx=^(y,b)—<p(y,a)— jfiy,x}dx=-'f[y,b)—<p{y,a)-h'p(y,a)~<p{y,a+ö}=='/,y,b)—,p{y,a+8) . (866) 



[23] Geunekt, Gruuert's Archiv, Th. 2, S. 266, qui cependant ue faifr pas meutioii de la couditiou 

 necessaire de coutinuitc. 



[24] Lejeune-Dirichlet, Journal von Crelle, Bd. 4, S. 94. 



[25] EüLEE, Novi Comnientarii Petropolitani, T. 14, Pars I, p. 72. — Ib., T. 16, p. 35, N. 25. 

 Paffe 36. 



