ET METHODES D'ÉVALUATION DKS INTEGR VLLS DEFI.MES. 1. 0. N". 40, 47. 



3' X = b, la limite supérieure de x; alors d'aprcs la formule (13): 



Lorsque ;\ présent on intègre ces équations par rapport a y entre les limites p et q, la discoutiimitó 

 peut avoir lieu pour uue valeur r de y, ou r est situé entre les limites p et q de 1'intégiation, 

 OU pour ces limites mêmes p et q de y. En tous cas outre l'intégrale (85) on obtient alors uue 

 correction, que nous uommerons Aj de sorte que nous aurons: 



j\ly j[fiy,a;)d.v== td:v j''f{,j , 



^)dy + A m 



et maintenant il s'agit de déterminer cette A- 



47. A eet effet considérons Ie cas de discontinuitu pour Ie système des valeurs « = c, // = r ; 

 il faudra intégrer l'expression I' (y) = tp (j/ > c — S) — f{y,c-\- S) (formule 86a) entre les limites 

 p et g, mais on verra qu'il suffit d'intégrer seulement entre les limites r — a et r -{- i. Car on 

 a évidemmeut : 



Tf (y) dy = j' V{y) dy + T F (y) dy + P 



^{y)dy («) 



et pour la première et la troisièine integrale au second membre on peut écrire successivement 



fc+'J' rc->r^ 



Cfiy) dy .= j dy (t (y , c - >^) - f (y , « + ^)} = j dy j\fiy , x) dx = T 'dx j f\y , x) dy . 



/) /i i> c—'i C— (J p 



F (?/) dy = ï dy {,^ {y,c-d)- ,( {y , c + Ö) } = i % I f{y , x) dx = i dx \ ./ 



[y^-^')dy:. 



-S "r+i 



oü l'on a inverti l'ordre des intégrations, parce qu'il u'y a pas de discontinuité ici entre les 

 limites; par la même raison les dernières intégrales par rapport a y resteut continues, et par 

 conséquent les intégrales singulières, oü la fonction intégrée est continue, s'annulent nécessaire- 

 ment. Ou, en d'autres mots, l'intégrale ne perd sa continuité que pour les valeurs x = c, y = r, 

 simultanées ; or, dans la première et la troisième integrale de la formule (a) la valeur c de x tombe 

 :\ la vérité entre les limites c — 8 et c -\- d de x ; mais, comme la valeur r de y y est exclue, la 

 fonction n'en demeure pas moins continue : c'est seulement dans la deuxième integrale de (a), oi\ 

 les limites sont r — e et r -\- i, que la fonction devient discontinue. Donc ou n"a qua avoir égard 

 a celle-ci, comme nous l'avous avance plus haut. Et cette même observation est ü faire partout 

 dans la suite, oü Ton n'aura a intégrer qu'auprès de la limite, oil la fonction perd sa continuité. 

 Or, dans chaque cas de discontinuité pour x = c (formule 86a), pour x = a (formule 866) 

 et pour x=. b (formule 86c), la discontinuité peut avoir lieu pour les valeurs y = r, y ^ p ou 

 y=^q, séparément, de sorte que pour ces neuf cas divers il faut calculer la correction Z_. 

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