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ET .METHODES D'ÉVALUATIOX DES LNTÉGRALES DEFINIES. '1. 6. N\ 48, 49. 



7'. ,v=-b, IJ = r, a 1'aide des suppositioiis ij=-t — z, et \i=::.r-Yv respectivement: 



[r+z fb rr+3 rr fr+c 



^= jdy jf{<j,x}d.v= I dy[iiiy,b} -^.(t/,6-Ö)} = j chj (., [>j ,h)—q{,j ,b-8)) + / dy{if(y,b) - 



,— s 4_(J r-e r—e ^ 



-q{ll,b-8)}=^ j\h{^l{r-z,b)-q{r-z,b-d)]+ f' dv{<({r+v,b) - <f(r+v ,b-8)} = 

 o o 



f[h{ri{r — z,b} — q.{r-\-z,b — S) — q{r~s,b — 8) + ,;.(r + z,b)} (93) 



) 

 8'. x = b, y=p, en supposant y = p-\-~- 



A= j%' jku,^)d^-f%iny,i)-ce{y,b-S)}==--jdz[<iip+z,b)-qip+^ . (94) 



p bs p " 



9'. x = b, y = q, lorsqu'on introduit y = q — z: 



A= {dy i}{y,^)d^-^i%j<My,b)-<f[y,b-8)]=^.{'dzy{q-z,b)-q{q~z,b-8)) . (95) 



</ — £ b — S q—t O 



Dans tous ces cas la correction, donnée sous la forma d'uue integrale doublé, est rameuée par 

 des substitutious, toules analogues ri celle du premier cas, a une integrale singuliere entre les limites 

 O et t. Quaut a leur calcul, observons qu'après l'intégration il faudra en j^remier lieu annuler la 

 quantité 8, pour faire disparaïtre ensuite Fautre f, ce que d'ailleurs les formules elles-mêmes in- 

 diquent assez clairement. 



49. Toutes ces formules (87) a (95) sont tirées ici de Téquation (S5a): mais jiar Ie change- 

 ment de X, a, b, c, 8 en y, p, q, r, e (ou alors ü (y,-») devient ce que ip {y,!e) est ici, et inver- 

 sément) elles obtienuent la forme qui résulterait de la formule (85ö.) Par conséquent on en déduit 

 iramédiatement, que dans les doubles intégrales, qui représentent les diverses corrections A. ou peut 

 invertir l'ordre des iutégrations ; on aurait pu s'attendre a ce résultat, puisque la fonction f{y,x) 

 reste toujours continue entre les limites de Tintégratioii dans ces équatious. 



Observons que pour Ie calcul des corrections, il nous faut connaitre la qi [y ,x), c'est-u-dire 



l'intégrale l f{y ^x) dx : mais d'après ce qui vient d'être démontré, on peut les déterminer tout de 

 même au moyen de la i/i {y ,x), c'est-a-dire de l'intégrale //(y,A') (^(/.- il faudra donc en chaque cas 



clioisir entre les fonctious <f{y,x) on xp(y,x) celle, qui ofFre Ie plus de facilifé dans l'intégration 

 et dans la réduction ultérieure. [26]. 



[26] Cette considération de la correction pour Ie cas de discontinuité dans les intégrales doubles 

 définies est due a Cauchy; voycz: Savants Etrangers de l'Institut, T. 1, A 1827, p. 599. Mémoire sur les 

 intégrales définies. 2« Partie § 2, p. 672 — 686. «Sur la différence des valeurs que re?oit une integrale doublé 

 Paffe 39. 



