\ 



I. 7. N'. 52, 55. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



Enfiu lorsqiie la valeur de y, qui reud la fonction discoutinue, est une des deux limites p ou ' 

 q, les limites de z devienuent O et co ou — co et O ; et Fou a [33] : 



l^ = -ni't (b+pi) -f ? X = X, pour r {w} = "^y .; (107) 



2 X — b—pi 



A = -niq>{b-\-qij—l y = — cc, pour F (^) = _ _^__ ■ (1^'^) 



Par consuqueut on peut réunir les résiütats de ces deux Numéros dans oe Théorèine: 

 Ona: i l\ [F (6 + yi) — F (a -{-yi)\ = jdx [F (r + qi) — F {.v + pi)] + h ; 



p a 



si F{x)= — ï-^-^ ., tl inent: 



X — X, — y,i 



A = 2 JTJ (ji (x , + y 1 i), pour a<^i<OÉ<p<y,<?; 



= TTJ .f (:c , 4-y , «■), pour- a<a?, <6 ei y , =p, ouy,=q; pour p<^ , <<;, e< x , =a, 0!< o.' j =6 ;| 



= -j- :c ,poMr- X = a et y = q\ pour x = b et y = p\ 



= — :rj ,;,our x = a ety =p\ pour x = b et y = q. , 



53. 11 s'cnsuit de la supposition pour F(a;) dans la formule (10'J) ([ue x = £, +*/i * est 

 une raciue de 1'équation 



¥(x)= x (110) 



Mais cette équation peut avoir plusieurs raciiies, dont les parties réelles tombent entre les limites 

 a et b (incluses) et les parties imaginaires entre les limites p ei q (iucluses). Dès-lors pour ces 

 valeurs de j;, et y, il y aura tout de même discontinuité de la fonction F, et il faut en tenir 

 compte dans Ie calcul de A ; or, par la divisiou de la distauce des limites, efl'ectuée de la même 

 maniere que plus haut, il est aisé de voir que, pour obtenir la correctiou totale, il faut calculer 

 séparément toutes les corrections A et cnsuitc en prendre la somme. Mais il faut seulement 

 avoir égard aux racines x, qui sont tellement constituées, que les quantités a-, et y, tombent 

 simultanément entre les limites (iucluses): les autres racines, dont ou la partie réelle senle ou la 

 partie imaginaire seule est dans ce cas, ou encore dont ces deux parties sont situées hors des 

 limites, ne donnent lieu h aucuue discontinuité, et par suite elles ne doivent point entrer dans Ie 

 calcul de A- 



de sorte qu'elle est la mêiue que la précédente, au signe prés, et p.iv suite clle donne néccssairemeiit licn 

 au résultat — tzi. 



[33] De raCme pour z =: — v on obtient; 



.rdz fo dv 1 . , . f^ dz . r dv 1 . , 



i I = — I = -ni-i-l oo , et 11 = — t I = ~m — l 



J zi{i—zi) j vi{l-{-vi) 2 ' y zi{l—zi) ƒ ot(1+ot) 2 



oc. 



o 



par rintermédiaire des résultats de la Note [31]. 

 Paae 4>i. 



