ET METHODES DÈVALUVTION DES INTÉGRALES DÉFINIES. I. 7. N'. 5-J, 54. 



Supposous que réquation (llü) ait « raciiics luégales: :;;, + y, ', .i".2 + j/j «, ...a;„ -|- y,,?', et 

 que Ie produit par la valeur de F (a;) en doune successivement : if, (x), ip ^ [x) . . . q „ (x), alors nous 

 aurous généralcmeiit : 



A = 37ti{<p, (x, +y,t) + 'P2(a;2 + y-J) + ■•■ + •h,{'Vn + .>/„i)} ; (Hl) 



cependant nous devous observer ici les cas mentionnés dans Ie thcorcmc (109), ou il faut reinplacer (//, 



1 



par — qp OU par ± oo . 



54. Enüu il nous reste a considérer Ie cas, que 1'équatiou IllO) ait des racines égales, car 

 alors Ie procédé, auquel nous sommes conduits, ferait évanouir les iji (x), et il faut y substituer Ie 

 suivant. 



Supposons dans Ie cas géuéral de la formule (96), ou la fonctiou f{y,x) perd sa coutinuité 



pour Ie système des valeurs x = c et y = r, que Ie facteur x — c — n se trouve in fois daus 



(jt [x) 



tf {x) : faisons alors F {x) = et encore comme toujours // ^ ?■ -I- cÜ 5, il vient : 



{x — c — rij'" 



A = i fsdA 'P{g+^ + (>-+^-)'} cp{ c-SJr(r+S z )i) 1 _ 



J '" ('■ + ^ + ('■ + ^'^) ï — c — riy (<; — 5 -f (r + ^2) i — c — ri)»' J 



^' {c + n+(-l + 5 i) 0} ^(e + n Xl+^i) d] 1 



= -i ƒ (5cL.[^ 



()r, Ie dévL'loppeineut par Ie théorSine de Ïavlor nous donne: 



q{c+n-{.i±S + bzi)} =cp{c+n)+ f <p'(c+n) -(-... + ^J^^^f^ .j™-2(c + n) + 



{±d+d 5 j)"'-i ( ± ^ + ö zi)"^ 



()« — 1)/ m.' 



ut par la substitutiou de ces deux valeurs ou trouve: 



A=-i Csj-ll ^^'+''''^ -4- - ^'(''+^ '^ j_ _L ^ y»'-2(c+rO 

 ^ j '^l\(^—8-\-dziy"'^ 2 (_Ö+d\sif'-i (m— 2)/ (— S+asi)^ ■** 



1 ?:'«-l (c+rt) 1 



1 iB'«-' c+n 1 . ) 



[m — 1)/ ( — ö-\-dzt) m! \ 



-{; 



y (c+ri) 1 y'(c+n) 1 ym-g (c -I- r p 



5+öirJ)"' 2(5 4-5zi)'«-i'*''"''^(m— 2)/ (3+(V:;ty "*" 



1 ffim— 1 (c -i_ ri) 1 . » 



+ r TT7 ,^ l-^^ + / "'" (<^ + ''O + • • ■ 



(m — 1).' [d-\-dzi) m! } 



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