1. T. N\ 54,55. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES ÜE TRANSFORMATION, 



(p'(c + ri) 1 (j.'«-2 (c 4- ri) 





(?n — -2)/ (— Ö-f-i 



((ö -}- f i)ra "*" 2 (3 + é i)»-! +•••"*■ (,„— 2)/ ((J 4- f i)^ i 



f 1 (i«-l(c+»^") 1 1 f 1 g"'— ifo + rz) 1 „ 1 



((;?i — 1)/ — 1 -f- Si »!■' J '('w — Ij' l-{-zi m; \ 



Dans Ie dernier membre, que l'oii • a divisé en quatre tenues, on a remplacé 8 z par sa valeur 

 priinitive f daus les deux premiers termes, pour faire voir qu'il faut d'abord annuler 8 et en- 

 suite *; mais par 1'annulatioii de 8 ces deux séries deviennent identiquement égales, terme a 

 terme : donc nécessairemeiit la diflerence en disparaït, tandis que Ie facteur 8, ou zéro, qui s'y trouve 

 ajouté, ne fait qu'ali'ermir cette conclusion. Quant aux deux derniers termes de cette équation, on 

 a séparé 8z dans ces deux facteurs, puisque ici Ie 8 disparait du dénoraiuateur et ne revient que 

 dans Ie nuuiérateur: donc de ces deux séries chaque premier terme reste comme une valeur déter- 

 ininée, et tous les termes suivants s^évanouissent a raison des facteurs 3,3^ etc , dont ils sont 

 affectés. On a donc: 



_ ■ r 1 \ 1 fp"'-' (c -!-«■) 1 (i'«-i (c+ri)i 



[{m—l)! — 1+5J [m—\)'. l-}-si 



1 



-ao 



--—■ I dz H = 2j -! ^ -— ^ / = 2ni ^ ^ . (11; 



_(["'~^{i'.-\-ri 



i ' 



(m 



( ƒ J/i — [ ff^ _L_ ^ 2 ] 



On voit donc que pour m racines égales, il faut remplacer (p{c-\-ri) par — Sa 



dans la formule (98) : et que par suite daus ce même cas il faut faire Ie muine changement daus 

 Ie tliéorème (109), suivant que c ou r coïncident ou non avec une des limites a ou b, p ou q. 



55. Au commenceraent de ce § on a montré comment la formule (97) ramene des intégrales 

 détinies &. limites imaginaires a d'autres, oü les limites sont réelles : il résulte de la discussion 

 de cette formule, ou plutot de Tautre formule identique (96), oü les deux systèmes de limites sont 

 tous deux des quantités réelles, que la correction £,, qu'il faut y ajouter, dépend d'une part 

 des diverses circoiistances, quant è, la discontinuité; mais que d'une autre part elle est liée a la ré- 

 solution d'une équation dont les racines doiveut servir a la déterminer. C'est justement par cette 

 circonstance que Cauchy, a qui Ton doit toute cette recherche [34], l'a rendue si fertile pour 



[34] Voyez les mémoires de Cauchy : Bulletin de la Société Philomathique, Nov. 1S25. — Journal 

 de l'Ecole Polytechnique, Cah. 19, p. 510. — Lecons sur Ie Culcul Infinitésimal, Paris 1823. — Savants 

 étrangers de l'Institnt, T. I. 1837, p. 599, Partie II, p. 661, § III, IV. — Mémoive sur les intégrales 

 définies prises entre des limites imaginaires, Paris, Debure, 1825, 68 p. 4". — Exercices de Mathématique, 

 1826, p. 85. — Excrcices d'Analyse, 1841, p. 358. 

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