ET METHODES D'EVALUATIÜN DES INTÉGRALES DÉFLMES. I. 7. N'. 55, 50. 



révaluatiou de diverses iiitógrales défiuies, comme oii veira dans la Ti'oisième Partie. A eet efiet il a 

 employé sou Calcul des Résidus, qui repose sur Ie raisouuemeut suivant. 



Soit uue fouction qp (*•), qui devieut infinie par quelque facteur [x — a)'« ; alors on peut écrire; 



F (x) = , — { . Mais OU a d'après Ie théorème de Taylou: 

 ^ ' (x— a)"' '■ 



i {nn — iy m .' 



et donc : 



Or, Ie coëfficiënt du terme , c'est-a-dirc (i (a) ou g"'-i (a) [35], suivant ciu'il v a 



X — a [m — 1).' \ / L J IJ 



uue seule racine a ou m racines égales a, ii'est autre chose que la fouction qui dans les uuméros 

 précédents se présentait dans la détermination de la correction /\. Cauchy Ie nomme : Ie residu 

 de la fonction F (ar) par rapport a a. Lorsqu'il y a plusieurs de ces facteurs, la somme des 

 fonctions correspondantes f, Ie residu intêyral de Catichy, est représenté selon lui par la no- 

 tation 



6,? b,q 



S F(a'), ce qui nous donue A = — 2 tii f F(a?) . . . , • (113) 



u,P a,p 



La notation ajoutée b,q ti a,p désigne qu'il ne faut considérer que les racines .e, +?/|i, oil 

 a<x <b,p<y <q [36]. 



56. Les formules précédentes permettent diverses suppositions spéciales, et donuent lieu ainsi 

 ïi une methode d'évaluation, dout ou traitera plus en détail dans la Troisième Partie. Toutefois 

 pour en donner un seul exemple, qui trouvera son applicatiou dans la suite, faisons dans la for- 

 mule (96) p = — x, q = X, a = 0, 6 = oo; alors elle devient : 



^X -00 



d^ [F (» + iji) — F (O + yi)] = / dx [F (X + xi) - F (o; — ^i)] + ^, 



A = i r 4 [F (c + 3 + >/i) - F (o - ,ï + yi) | . 



r — £ 



Mais quand on sait, que pour chaque x positif on a : F {x -j- oo i) = O, F {x — cc i) = O ; et 

 en outre pour chaque y: F (» + y i) = O, il en résulte: 



ƒ F(yi)rfy = A,A= f%[F{c-\-8+yi)—Y{c-8Jr.>ji)\ ~"^ <''<=^'l . (h4) 



J } (l<C<QC.| 



[35] Quelquefois i'expïessiou équivalente: Lim. (.t — a)Y{x) ofti-e plus de fucilités dans ie calcul. 

 [36] Voyez des principes de ce calcul: Cauchy, Exercices de Mathématique, 1820, p. 11, 44, 95, 

 133, 167, 203, 'il5. S-il, 339, et 1827, p. 246, 277, 297, 315, 317, 3n. 

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