I. 7. N'. 57. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



57. Mais oii peut considérer les intégrales défiuies a limites imaginaires d'un tout autre 

 point de vue. 



Car auprès d'une integrale jf(.v)da: soit une des limites ƒ -{- ^'i: alors on peut la remplacer 



g 

 par f-{-gi = a (Cos. a -\- i Sm. «), lorsqu'on prend a = -\- ]^ (f- -\- g'^';,a = Arcig. -. Dans cette 



expression Ie facteur Cos. « -|- i Sin. a tombe toujours entre — 1 et + 1 : donc, lorsqu'il s'agit 

 de passer a la liinite ± er, , il u'y aura qu'a considérer Ie facteur a. 



Supposons généralement x =^ Q[Cos.rf -\- iSin.cf), alors Fintégrale mentiounée devient : 



r (.r) = 1 ƒ |p [Cos. if -(- iSin. g)} d [o [Cos. (f -\- i Sin. g j , 



et de la même maniere quauparavaut il est évident, que si f [q (Cos. if -\- i Sin. q)^ reste finie et 

 continue pour toutes les valeurs de g, comprises entre deux valeurs (p, et qp^, l'intégrale elle- 

 mêrae sera finie entre ces mêmes limites. Supposons cp constant dans la formule précédente, alors 

 un a: d. ^Q{Cos.(f' -\- iSin.q)^ = (Cos. g + z'Sin.i}) (Zo ; et 1'on obtient: 



F [a'j = ( Cos. (j> -|- i Sin. 17 ) / ƒ {? (Cos. q- -j- i Si». 7 ) } dn. 



La dernière integrale étant réelle par rapport a q, peut être traitée comme une integrale défiuie 

 ordinaire: intégrons-la entre les limites Q=a et Q = b; alors les limites correspondantes de a; 

 seront a: = a{Cos.if -\- iSin.q), .v ^=h[Cos.q' -^ iSin.'}): donc en changeant g en a, parce qu'il 

 est constant, on trouve : 



^b{Cos.a+iSin.<ii) rb 

 f {x) dx = [Cos. u -\- i Sin. u) j / [o(Cos. « -}- z'&'n. «)] do (115) 



a(Cos.a+i,SVn.a) a 



Mais au contraire on pourrait tout aussi bieu supposer q constaut dans la formule primitive, et Ton 

 aurait: d. ^o [Cos. (f -\- i Sin. q)^ =Qdq{ — Sin. q-\- i Cos. q) et par suite: 



r( 



lei cependant ou peut séparer la dernière integrale, qui a la forme A-\-Bi, en deux parties, ou les 

 fonctions A et B sont toutes deux réelles par rapport a q : dès-lors on peut traiter ces parties 

 comme des intégrales défiuies ordinaires et leur donner les valeurs «et /ï de q> pour limites: 

 parce que les limites correspondantes de x deviennent x = Q{Cos.a-\-iSin.x) et x = Q(Cos.^-\-iSin.li) 

 ('t que, Q étant supposé constant, on peut Ie remplacer par r, il vient: 



rriCos.^+iSm.i) f3 



j f{x) dx=r i f{(, {Cos. q. + i Sin. q.)} (— Sin. q + i Cos. q] dq (116) 



r(Cos.a+iSin.«) a 



11 nous reste Ie cas, oü ni q ni 9 ne sout constants; dans ce cas V{x) dépend de ces 



d^ 'F , 



quantites comme variables indépendautes, et il faut détermiuer , — r-, pour integrer ensuite une fois 



dodz 



Pas;e 4S. , 



