ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFIINIES. 1.7. N". 57, 58. 



par ra])port a q et une autre fois encore pur rapport i\ 'f. Oomme on a trouvc p. e. dans la formule 



(116 rt) que - - - = q/ (? {Cos. cp -\- i Sin. q)} ( — &'«. (]f' + i Cos. if ), il s eiisuit : 

 d((i 



cKJ\^ =. (— 6w..f + i'6'o«.))r/(?(Co5-'r + 2'S"'-»)} +?-^-/{c'(^os.g. + /,S<-H..,)}.(— 5i-«.., -j-i6'o.'..|)] = 



(/.( dn I- «? ' 



==/{()((7o.s.ij '+ i5in..f)} {—Sin.q+ iCos.q) -\- q —./' {«(tos. (p + iSm.,,)). (— Si/i. Sf + iCos. 2./) ; 



jiuisque (— Sin. es + i Cos. c)- = — Sjh. 2 w + t Cos. 2 er. IMainteiiaut nous pourrons intégrer par 



rapport a (> entre les limites a et 6, et encore par rapport u qp entre les limites « et (?, ce qui 



donne Ie même résulfat que l'intégration par rapport a x entre les limites a{Cos.a -\- iSin.a) et 

 h (Cos ^ -\-i Sin. (i) ; et nous aurons : 



^biCos.^+iSin ^) [b fS 

 f{x) dx = 1 do I d I p' {'J i<^<^^'- 'T + «■ 'S'"- •)))(— Sm. 't + t Cos. •/ ) + 



a(Cos.a-(-e5(n.a) a "« 



+ —•/'(? (Cos- 7 -l-'-Si». '())•?( -S'"-2'/ +«'<"os. 2,;)] [37] . . . (117) 

 dQ' -■ 



.58. Il est encore facile de présenter les formules, que Ton vient de trouver, sous une autre 

 forme, qui quelquefois donnera plus de facilités dans leur usage. A eet efiet il faut séparer les partie.s 

 imas'inaires et les parties réelles, et les décomposer ensuite dans Ie produit de deux facteurs, comme on 

 Ic fait ordinairement. Prenons ./'{c(C'o.'.i) + «Sm, (;)]:= x(?»'() + "/'(('''"/)= ^ [Cos.<i)-\-i Siii.i^} , 



OU donc los fonctions P^ = {x (?,'())'+{'/'(?''/)} ^ <=t Tang. <[> = '^--^ sont Tune et ranfro 



fonctions de ;,< et de q ; les formules (11-5) et (116) deviennent: 



ƒh{Cos.f+i.Sin.f) .1, M, 



f{x)da; = {Cos.q. + iSin.q)l P(Cos.$ + iSw.<ï.) f/<.= j F do [Cos. q. Cos ^— Sin. f. Sin. ^ -\- 



niCos.'f+i.Sm.?) i i 



-|- { Cos. q. Si7i. $ -f { Sin. ;; . Cos. <l>] =1 VdQ { Cos. {q + *) + i Sin. (9 + *)} = 



= / FCos.{q-^^)dQ + i 1 F Sin.{q + ei,) do, oü ./ constant: (H^) 



/ f(x)dj:=Q j F{Cos.^ + iSi7i.^){— Si7i.q+iCos.q)dq (119a) 



p[Cos.x+iSi'n a) 



[37] On peut aussi déduire directenicnt les formules de ce numero de la formule (3); voyez: Töplitz, 

 (irunerts Archiv, Th. 23, S. '241. 



Page 49. 7 



V IS- EX NATUL'RK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. 



