ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 1- 8. N'. 59. 



§ 8. TIIÉORKJIE DK POURIEIJ. 



59. Uue coüscqueiice non moins importante des rL%ultats du § G, Ie théorème de ForRiEi?, 

 s'en déduit de la maniere suivante. 

 Dans Tiutégrale doublé 



o (( 



on a au moyen de Tintegration par parties : 



't a (f 



ƒ* d f(x) f'" '^•/W 



Sin. xy ^=^^ dx = ƒ [h) Sin. by — f ia) Sin. ay — i Sin. .xij — — d.v : 



a ^ 



pourvu que la fouction /{u:) reste continue entre les limites a et 6 de x. Ainsi Tintégrale doublé 



devient : 



r dl/ r dn r ^y C^^. d.f[x) 



l=r/'(6) 1 Sin.hy.Cos.py~ —f [a) \ Sin.ay.Cos:py — — \ Cos.py— ƒ Sm xy - - dx. 



j y j y '■^ L 



o o o o 



, „ . Cos.py.Sin.xn d.f(x) . , ,- •, ^ 7 i .. ' -i 1 



Maïs la fonction — -^^^ reste continue entre les hmites a et t» de o;; et ecnte sous la 



y dx 



forme Cos.pij— f~ ~ elle est eucore continue pour les valeurs de y entre les limites O 



et X, puisque pour y = O on a Lim. — '— — x: par conséquent, d'après Ie Nr. i5, il est per- 

 mis d'invertir l'ordre des iutégrations dans la dernière integrale, et l'on obtient : 



I = ƒ (6) I Sin. by. Cos. py~— f {x) ( Sin. ay. Cos.py ^ — j -^y;^ dx l Si?i. xy. Cos. py ^ .(121a) 



o "o a ') 



On est donc conduit en dernière analyse u Tintégrale définie: 



I Sm.rz.Cos.sz =- 1 ^-^^ — - — ^~i— ! ï=^^ '—^dz, (si r>s), 



o o 



_ ir Sin, [is + r)z]- Sin, i js-rlz}^ 



•Z z V ■ / 



Pase 51. 7* 



